命题XXI 问题XIII

对于给定的一个焦点画一条轨道，它通过给定的点并与位置给定的直线相切。

设焦点S，点P和切线TR被给定，需求另一焦点H。往切线上落下垂线ST，并延长它至Y，使得TY等于ST，则YH等于主轴。连结SP，HP，且SP是HP和主轴之间的差。按照这种方式，如果给定更多的切线TR，或更多的点P，总能找到由所说的点Y或P到焦点所引的同样数目的线YH或PH，它们或者等于轴，或者它们以给定的长度SP不同于轴；于是它们或者相等，或者有给定的差，且由此，由上面的引理，另外一个焦点H被给定。同时拥有了两个焦点和轴的长度（它或者为YH，或者，如果轨道为椭圆，为PH+SP；若不然，轨道为双曲线，为PH－SP）也就有了轨道。此即所求。

当轨道为双曲线时，在这个轨道的名下我没有包括相对的双曲线［分支］。因为物体在自己的持续运动时不可能迁移到相对的双曲线［分支］上。

在给定三个点的情形可如此便捷地求解。设B，C，D为给定的点。连结BC，CD，并延长至E，F，使得EB比EC如同SB比SC，且FC比FD如同SC比SD。在画出的EF及其延长上落下成直角的直线SG，BH，又在无限延长的GS上取GA比AS和Ga比aS如同HB比BS；则A为轨道的顶点，且Aa为其主轴：轨道，依照GA大于、等于、或者小于AS，而为椭圆，抛物线或者双曲线；点a在第一种情形与点A落在线GF的同一侧；在第二种情形它远离以至无穷；在第三种情形它落在线GF的另一侧。因为如果向GF上落下垂线CI，DK；则IC比HB如同EC比EB，这就是，如同SC比SB；又由更比，IC比SC如同HB比SB或者如同GA比SA。且由类似的论证可证KD比SD是按照相同的比。所以点B，C，D在关于焦点S如此画出的圆锥截线上，使得由焦点S到截线上每个点所引的直线比由相同的点落到直线GF上的垂线按照那个给定的比。

最杰出的几何学家拉伊尔，在他的《圆锥截线》卷VIII，命题XXV中给出此问题的解法，方法上与此没有大的差异。