命题XX 问题XII

对于给定的一个焦点，画出类型给定的任意轨道，它通过给定的点，且与位置给定的直线相切。

情形1 给定焦点S，设要画的轨道ABC经过两点B，C。因为轨道的种类已给定，则主轴比焦点之间距离的比亦被给定。按照那个比取KB比BS，以及LC比CS。以中心B，C，间隔BK，CL画两个圆，且在直线LK上，它切这些圆于K和L，落下垂线SG，同一垂线在A和a被截，使得GA比AS和Ga比aS如同KB比BS，并由轴Aa，顶点A，a，轨道被画出。我说图已做出。因为若H为所画图形的另一个焦点，又由于GA比AS如同Ga比aS，由分比Ga－GA或Aa比aS－AS或SH按照相同的比，且因此按照要画的图形的主轴比其焦点之间的距离所具有的比；所以画出的图形与要画的图形的种类相同。又因KB比BS和LC比CS按照相同的比，这个图形经过点B，C，由《圆锥截线》这是显然的。

情形2 给定焦点S，要画出一条轨道，它与两直线TR，tr在某处相切。由焦点向切线上落下垂线ST，St，并延长它们至V，v，使得TV，tv［分别］等于TS，tS，Vv平分于O，并竖立无限的垂线OH，无限延长的直线VS在K和k被截，使得VK比KS和Vk比kS如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离。在直径Kk上画圆截OH于H；并由焦点S，H，等于VH的主轴，轨道被画出。我说图已做出。因为平分Kk于X，并连结HX，HS，HV，Hv。因为VK比KS如同Vk比kS；并由合比，如同VK+Vk比KS+kS；再由分比，如同Vk－VK比kS－KS，亦即，如同2VX比2KX和2KX比2SX，因此，如同VX比HX和HX比SX，于是三角形VXH和HXS相似，且所以VH比SH如同VX比XH，因此，如同VK比KS。所以画出的轨道的主轴VH比其焦点之间的距离SH的比，与所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离所具有的比是相同的，因此是相同的种类。此外，由于VH，vH等于主轴，且VS，vS被直线TR，tr垂直平分，显然（由引理XV）那些直线与所画出的轨道相切。此即所作。

情形3 给定焦点S，要画出一条轨道，它与直线TR在给定的点R相切。在直线TR上落下垂线ST，延长它至V，使得TV等于ST。连接VR，无限延长的直线VS在K和k被截，使得VK比SK和Vk比Sk如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离；且在直径Kk上画圆截延长的直线VR于H，并由焦点S，H，等于直线VH的主轴，轨道被画出。我说图已做出。因VH比SH如同VK比SK，因此如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离，由第二种情形的证明，这是显然的，所以所画出的轨道与所要画的轨道的种类是相同的，由于角VRS被直线TR平分，它与轨道在点R相切，由《圆锥截线》这是显然的。此即所作。

情形4 对于焦点S，现在要画出轨道APB，它与直线TR相切，且经过切线外任意给定的点P，相似于以主轴ab和焦点s，h所画的图形apb。在切线TR上落下垂线ST，并延长它至V，使得TV等于ST。再作角hsq，shq等于角VSP，SVP；且以q为中心，以比ab如同SP比VS的间隔画圆，截图形apb于p。连结sp并引SH，它比sh如同SP比sp，构作角PSH等于角psh以及角VSH等于角psq。此后，由焦点S，H，和等于距离VH的主轴AB，圆锥截线被画出。我说图已做出。因为，如果引sv，它比sp如同sh比sq，构作角vsp等于角hsq以及角vsh等于角psq，三角形svh，spq是相似的，且所以vh比pq如同sh比sq，亦即（因三角形VSP与bsq相似）如同VS比SP或ab比pq。所以vh和ab相等。此外，由于三角形VSH与vsh相似，VH比SH如同vh比sh，亦即，现在所画出的圆锥截线的轴比其焦点之间的间隔，如同轴ab比焦点之间的间隔sh；所以现在画出的图形与图形apb相似。然而，这一图形经过点P，因为三角形PSH相似于三角形psh；且因VH等于图形的轴，又VS被直线TR垂直平分，此图形与直线TR相切。此即所作。