命题XI 问题VI

一个物体在一椭圆上运行；需求趋向椭圆的一个焦点的向心力的定律。

令S为椭圆的一个焦点。引SP截椭圆的直径DK于E，又截纵标线Qv于x，再补足平行四边形QxPR。显然EP等于半长轴AC，如此是因为，由椭圆的另一焦点H作平行于EC自身的线HI，因CS，CH相等，ES，EI也相等，至此EP是PS，PI，亦即（因HI与PR平行，且角IPR与HPZ相等）PS，PH的和之半，它们连结起来等于整个轴2AC。向SP上落下垂线QT，称L为椭圆的主通径^（13）（latus rectum principale）（或 ，则L×QR比L×Pv如同QR比Pv，亦即，如同PE或AC比PC；且L×Pv比GvP如同L比Gv；又GvP比Qv_quad.如同PC_quad.比CD_quad.及（由引理VII系理2），Qv_quad.比Qx_quad.在Q和P重合时成为等量之比；再者Qx_quad.或Qv_quad.比QT_quad.如同EP_quad.比PF_quad.，亦即，如同CA_quad.比PF_quad.，或者（由引理XII），如同CD_quad.比CB_quad.，并连结所有这些比，L×QR比QT_quad.如同AC×L×PC_q×CD_q，或2CB_q×PC_q×CD_q比PC×Gv×CD_q×CB_q，或如同2PC比Gv。然而点Q和P重合时2PC和Gv相等。所以与此成比例的L×QR和QT_quad.相等。这些等量乘以 ，则L×SP_q等于 。所以（由命题VI系理1和系理6）向心力与L×SP_q成反比，亦即，按照距离SP的二次反比。此即所求。

由于趋向椭圆的中心的力，由它物体P能在那个椭圆上运行，如同（由命题X系理1）物体离椭圆的中心C的距离CP；引CE平行于椭圆的切线PR；且力，由它同一物体能环绕椭圆的另外任意点S运行，如果CE和PS交于E，如同（PE_cub.）/（SP_q）（由命题VII 系理3），这就是，如果点S为椭圆的一个焦点，且因此PE被给定，与PS_q成反比。此即所求。

这里可以一样简短地如问题五那样推至抛物线和双曲线。实在因为问题的重要性及在其后它们的应用，由证明证实另外的情形，当不会令人生厌。