命题X 问题V

使一个物体在一椭圆上运行：需求趋向椭圆的中心的向心力的定律。

令CA，CB为椭圆的半轴；GP，DK为另外的共轭直径；PF，QT垂直于直径；Qv为附属于直径Gp的纵标线，且如果补足平行四边形QvPR，则（由《圆锥截线》）矩形PvG比Qv_quad.如同PC_quad.比CD_quad.，又（由于相似三角形QvT，PCF）Qv_quad.比QT_quad.如同PC_quad.比PF_quad.。这些比相结合，矩形PvG比QT_quad.如同PC_quad.比CD_quad.，及PC_quad.比PF_quad.，亦即vG比（QT_quad.）/（Pv）如同PC_quad.比（CD_q×PF_q）/（PC_q）。把Pv写成QR，且（由引理XII）CD×PF写成BC×CA，以及（当点P和Q重合时）把vG写作2PC，又未项和中项彼此相乘，（QT_qund×PC_q）/（QR）等于（2BC_q×CQ_q）/（PC）。所以（由命题VI系理5）向心力与（2BC_q×CA_q）/（PC）成反比；亦即（由于2BC_q×CA_q给定）与1/（PC）成反比；这就是，与距离PC成正比。此即所求。

在直线PG上点T的另一侧按照Tu等于Tv取点u；然后取uV，它比vG如同DC_quad.比PC_quad.。又因为由《圆锥截线》，Qv_quad.比PvG如同DC_quad.比PC_quad.，Qv_quad.等于Pv×uV。两边加上矩形uPv，出现弧PQ的弦的平方等于矩形VPv；且因此圆，它与圆锥截线在P点相切，穿过点Q，亦穿过点V。点P与Q重合时，uV比vG之比，它与DC_q比PC_q之比相同，变成PV比PG或PV比2PC之比；因此PV等于（2DC_q）/（PC）。是以力，由它物体P在椭圆上运行，与（2DC_q）/（PC）乘以PF_q成反比（由命题VI系理3），这就是（由于2DC_q乘以PF_q给定）与PC成正比。此即所求。

系理1 所以，力如同物体离椭圆的中心的距离；且反之，如果力如同距离，物体在其中心在力的中心的一个椭圆上运动，或者也许在圆上，椭圆能变化为圆。

系理2 且在围绕同一中心的所有椭圆上所做的运行的循环时间相等。因为那些时间在相似的椭圆上相等（由命题IV系理3和系理8），但是在具有公共长轴的椭圆上，它们的相互之比如同整个椭圆面积的正比和同时画出的小部分面积的反比；亦即，与短轴成正比，且与物体在主顶点^（12）（vertex principalis）的速度成反比；这就是，与那些短轴成正比，且与公共轴的同一点所属的纵标线成反比；且所以（由于正比和反比的相等性）按照等量之比。

如果椭圆的中心跑至无穷远，椭圆变为抛物线，物体在此抛物线上运行；现在趋向在无穷远距离的中心的力最终相等。这是伽利略的定理。且如果圆锥的抛物线形截面（通过改变圆锥截面的倾斜）变为双曲线，在这个［截面］边缘运动的物体的向心力变为离心力。且正如在圆或椭圆中，如果力趋向的图形的中心位于横标线上，按照任意给定的比增加或减小纵横线，或者改变纵标线对横标线的倾斜角，这些力总按照到中心的距离的比增大或减小，只要循环时间保持相等；因此在一般的图形中，如果纵标线按任意给定的比增大或减小，或者纵标线的倾角任意变化，保持循环时间［不变］，趋向位于任意横标线上的中心的力，对每一条纵标线，按照离中心的距离之比增大或减小。