命题I 定理I

面积，它由在轨道上运动的物体往不动的力的中心所引的半径画出，停留在不动的平面上，且与时间成比例。

时间被分为相等的段，且在第一个时间段物体由于其固有的力画出直线AB。在第二个时间段，同一物体如果没有阻碍，它将一直前进到c，（由定律I）画出等于AB的线Bc；因此往中心引半径AS，BS，cS，画出的面积ASB，BSc相等。然而当物体到达B时，假设向心力以一次但有力的冲击，致使物体由直线Bc倾斜并在直线BC上前进。引cC与BS平行，交BC于C；则第二个时间段完成时，物体（由诸定律的系理I）在C被发现；它在与三角形ASB相同的平面。连结SC，因SB，Cc平行，三角形SBC等于三角形SBc，因此也等于三角形SAB。由类似的论证，如果向心力相继作用在C，D，E，等等，使物体在各自的时间片段各自画出直线CD，DE，EF，等等，它们全都位于同一个平面；且三角形SCD等于三角形SBC，［三角形］SDE等于［三角形］SCD，［三角形］SEF等于［三角形］SDE。所以在相等的时间，相等的面积在不动的平面上被画出：且通过复合，任意的面积和SADS，SAFS彼此之间，如同画出它们的时间。现在三角形的数目无限增加且其宽度减小以至无穷，且最终它们的周线ADF（由引理三的系理四）为曲线：因此向心力，由它物体持续从这条曲线的切线上被拉回，此作用从不间断；且画出任意的面积SADS，SAFS总与所画的时间成比例，面积在此情形与那些时间成比例。此即所证。

系理1 在没有阻力的空间，被一个不动中心吸引的物体的速度与从那个中心到轨道的切线所落下的垂线成反比。因为在那些位置A，B，C，D，E的速度如同相等的三角形的底AB，BC，CD，DE，EF；且这些底与落在它们之上的垂线成反比。

系理2 如果AB和BC是由同一个物体在无阻力的空间中在相等的时间所画出的两段相继的弧的弦，补足平行四边形ABCV，则这条对角线BV当那些弧减小以至无穷时所处的位置，沿两个方向延伸，通过力的中心。

系理3 如果弦AB，BC和DE，EF是［物体在］无阻力的空间中在相等的时间所画出的弧的弦，并补足平行四边形ABCV和DEFZ；在B和E的力彼此之比，当那些弧减小以至无穷时，按照对角线BV和EZ的最终比。因为物体的运动BC和EF（由诸定律的系理I）由运动Bc，BV和Ef，EZ合成，然而BV和EZ［分别与］Cc和Ff相等。在此命题的证明中它们由向心力在B和E的冲击产生，且因此与这些冲击成比例。

系理4 任意物体在没有阻力的空间中被拉离直线运动并被弯折到曲线轨道的诸力的相互之比，如同在相等的时间内所画出的弧的矢的比。当那些弧减小以至无穷时，弧的矢汇聚于力的中心，并平分弦。由于这些矢是我们在系理三中所提到的对角线的一半。

系理5 所以这些力比重力，如同这些矢比那些垂直于地平线的抛物线的弧的矢，它们［抛物线］由抛射体在相同的时间画出。

系理6 由诸定律的系理V，当平面，物体在其上运动，连同力的中心，它们位于这些平面上，不是静止的而是均匀地一直运动，所有结论同样成立。