对这个问题的第一个答案立即如下浮现在心智：为了在物理中发现的一个属性可以用数字符号来表示，其充要条件用亚里士多德的语言来讲就是，这个属性属于量的范畴而不属于质的范畴。用比较容易接受的近代几何学的语言来讲，其充要条件是，这个属性是数量（magnitude）。

数量的基本特征是什么？我们根据什么标志辨认，例如线的长度是数量？

通过把不同的长度相互比较，我们偶然发现相等的和不相等的长度的概念，这些概念呈现出下述特征：

与同一长度相等的两个长度彼此相等。

若第一个长度比第二个大，第二个比第三个大，则第一个比第三个大。

这两个特征已经容许我们表达下述事实：两个长度彼此相等使用算术符号=，写成A=B。它们容许我们用A＞B或B＜A的写法表达A在长度上大于B的事实。实际上，包含在算术或代数中的相等或不相等的记号的唯一性质如下：

1. 两个等式A=B和B=C隐含等式A＝C。

2. 两个不等式A＞B和B＞C隐含不等式A＞C。

当我们在长度研究中使用这两个性质时，它们还属于相等和不相等的记号。

让我们把几个长度衔接起来，我们得到一个新长度S，它大于每一个分量长度A,B,C。即使我们改变使分量衔接的顺序，S仍不变化；即使我们用使它们衔接的长度代替某些分量长度（例如B和C），它也不变化。

这几个特征授权我们使用算术的加法记号，以表示存在于把几个长度衔接起来的操作，并写为S＝A+B+C+……

事实上，由我们刚才说过的话，我们能够写出：

A+B＞A，A+B＞B

A+B=B+A

A+（B+C）＝（A+B）+C

现在，这些等式和不等式表示算术的唯一基本的公设。在算术中为结合数而构想的所有运算法则将被扩展到长度。

这些扩展的最直接的是乘法的扩展；把n个彼此相等且等于A的长度衔接起来而得到的长度可以用符号n×A来表示。这个扩展是长度测量的起点，它将容许我们用数表示每一个长度，而针对所有长度一旦选定的某个长度标准或单位的名称伴随着这个数。

让我们选定这样的长度标准，例如米，它是在十分特殊的条件下由放置在国际度量衡局某个金属杆给予我们的长度。

某些长度可以用n个等于一米的长度的衔接来复制；名称米紧随的数n将恰当地表示这样的长度；我们说它是n米长。

另外的长度不能用这种方式表示，但是当q个相同的截段一个接一个相继放置能重新产生一米的长度时，它们便能够用p个相等的截段衔接起来复制。当我们陈述用名称米紧随的分数p/q时，这样的长度将完全是已知的。

不可通约数也可以后随标准的名称，它也容许我们表示任何不属于我们刚才定义的两个范畴中无论哪一个的长度。简而言之，任何长度无论是什么，当我们说它是x米长时，它将完全已知，不管x是整数、分数还是不可通约数。

于是，我们借以表示把几个长度衔接起来的操作的A+B+C的符号加法，将可以用真正的算术和代替。它将足以用相同的单位例如米来测量每一个长度A,B,C,……；我们从而得到米数a,b,c,……。由A,B,C,……衔接而形成的长度S也可用米来测量，它将用与测量长度A,B,C,……的数a,b,c,……的算术和相等的数s来表示。我们用表示这些长度的米数的算术等式

a+b+c+……＝s

代替分量长度和总量长度之间的符号等式

A+B+C+……＝S。

这样，通过标准长度的选择和通过测量，我们把体现用长度完成操作的权力交给为表示用数进行的操作而形成的算术和代数记号。

就面积、体积、角度和时间而言，能够重复我们刚才就长度所说的话；所有是数量的物理属性都会显示出类似的特征。在每一个案例中，我们应该看到，不同的数量状态显示相等或不相等的关系，这些关系可容许用记号＝、＞和＜来表示；我们应该总是能够把这一数量交付下述操作：该操作具有交换和结合的双重性质，从而能够用算术的加法符号即记号+来表示。通过这种操作，测量便被引入这一数量的研究，从而使人们能够借助于整数、分数或根式的并集以及测量单位充分地定义它；这样的并集以名数（concrete number）的名称为人所知。