第二节 数学命题
一、判断和数学命题
（一）判断与语句
判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。例如“三角形内角和等于180…；“点P在直线AB上”
是无理数”，等等都是判断。
在判断中常反映着：①某属性是否属于这个或那个思维对象；②各思维对象间的关系；③各对象间的制约关系，等等。因此，对思维对象有所肯定或有所否定乃是一切判断的最显著的特点。
判断有真假之分。如果一个判断所断定的符合客观实际情况，与事实相一致，那么这个判断是一个真实的判断；如果一个判断所断定的不符合实际情况，与事实不一致，那么这个判断就是一个虚假的判断。
判断作为一种思维形式、一种思想，是不能离开语句赤裸裸地存在的。判断的形成和表达都离不开语句。但应当注意，并非所有的语句都表达判断。例如，“3是有理数吗？”就不是判断。
（二）数学命题及其分类
在数学上，表达判断的语句叫做命题。表达真判断的语句称为真命题，表达假判断的语句称为假命题。一个命题不是真的就是假的，不能又真又假。
数学命题常用符号、算式来表达。例如，“3＋2＝5”，“（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2”等都是数学命题。
在命题逻辑中，通常用p，q，r等表示命题，称为命题变量或命题变项。命题变量只能取“真”、“假”二值。为书写方便，常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”。如果命题P是一个真命题，就说p的真值等于1，记作“p＝1”；否则，我们说它取假值，记作“p＝0”。
根据不同的标准可把命题分为几种不同的类型。首先按命题本身是否还包含其他的命题而分为简单命题和复合命题。
简单命题是命题本身不再包含其他命题的命题。按其所断定的对象是性质还是关系而分为性质命题和关系命题。
复合命题是由两个或两个以上的简单命题组成的命题。按照组成复合命题的各个简单命题之间的结合情况如何，将其区分为负命题、联言命题、选言命题、假言命题。
二、简单命题
简单命题就是不包含其他命题的命题。简单命题可分为性质命题和关系命题两种。
（一）性质命题
性质命题就是断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。例如：一切正方形都有外接圆；任何一个圆都不是直线形；有些四边形是平行四边形；有些直角三角形不是等腰的。
1．性质命题的逻辑结构
从上述例子中可以看到，虽然断定的事物具体内容不同，但都由下面几部分组成。
它们都有一个表示判断对象的概念，称为命题的主项，逻辑学上通常用“s”表示。如例子中的“正方形”、“圆”、“四边形”、“直角三角形”。
它们都有一个表示判断对象所具有或不具有的某种性质的概念，称之为命题的谓项，用“P”表示。如“外接圆”、“直线形”、“平行四边形”、“等腰”。
它们都有一个联系主项和谓项的关系词，称之为命题的联项，通常又被称为命题的“质”。如“是”、“不是”、“能”、“不能”、“有”、“不具有”。
在它们的前面都有一个表示判断对象数量的概念，称之为命题的量项。如“一切”、“有些”。量项又称为命题的“量”。量项分为两种：一种是全称量项，它表示在一个命题中，对主项的全部外延作了断定，通常用“所有”、“任何”、“一切”、“每一”、“凡”等语词表示。另一种是特称量项，表示对主项的部分外延作了断定，常用“有些”、“有的”、“某些”等表示。特称量项的语言标志在命题的语言表达中不能省略，全称量项的语言标志可省略。
性质命题的逻辑结构是：所有的（或有的）s是（或不是）P。
2．性质命题的种类
按性质命题的“联项”，即“质”的不同，可将其分为肯定命题和否定命题。肯定命题是断定事物对象具有某种性质的命题；否定命题是断定事物对象不具有某种性质的命题。
按性质命题的量的不同，可分为：全称命题，即断定某类中的每一个对象（或某一个别对象）是否具有某种性质的命题；特称命题，即断定某类中的部分对象是否具有某种性质的命题。
按性质命题的质和量的不同结合，可将性质命题分为如下四种a
全称肯定命题断定一类事物的全部都具有某种性质的命题。通常用“A”表示，也可写成“SAP”。逻辑形式是：所有的S都是P。
全称否定命题断定一类事物的全部都不具有某种性质的命题。通常用“E”表示，也可写成“SEP”。逻辑形式是：所有的S都不是P。
特称肯定命题断定一类事物中的部分对象具有某种性质的命题。通常用“I”表示，写成“SIP”。逻辑形式是：有的S是P。
特称否定命题断定一类事物中的部分对象不具有某种性质的命题。通常用“O”表示，也可写成“SOP”。逻辑形式是：有的S不是P。
此外，还有单称肯定命题，如“π是无理数”；单称否定命题如“3．141 6不是无理数”。单称命题主项的外延是一个单独的个体，它和全称命题有类似的性质，都是肯定或否定主项的全部外延，这里就不详细讨论了。
全称命题和特称命题就其主项S和谓项P的外延而言，有以下五种情形：①S＝P；②S＞P；③S＜P；④S∩P且S∩P≠φ；⑤S∩P≠φ。在各种情形下A，E，I，O之间的真假关系如下表5－1所示。
表5—1
由表5－1可以看出：
（1）SAP和SEP不能同真，可以同假。这种关系称为反对关系。
（2）sIP和SOP不能同假，可以同真。这种关系称为下反对关系。
（3）SAP和SOP，SEP和SIP不能同真，也不能同假，这种关系称为矛盾关系。
（4）SAP和sIP，SEP和SOP之间，若全称命题为真，则特称命题必真；若全称命题为假，则特称命题真假不定；若特称命题为假，则全称命题必假；若特称命题为真，则全称命题真假不定。这种关系称为等差关系。
上述四种关系可用图5—6表示，通常称为逻辑方阵。利用逻辑方阵，在一定情况下可由一种命题的真假判定其他命题之真假。
（二）关系命题
关系命题就是断定事物与事物之间关系的命题。例如，一切正数都大于零；直线a平行于直线6。
图5—6
关系命题由主项、谓项和量项三部分组成。主项又称关系项，是指存在某种关系的对象。例子中的“正数”和“零”、“直线a”和“直线6”，分别是两个命题的主项。其中，“正数”、“直线a”在前面，称为关系前项；“零”、“直线b”在后面，称为关系后项。
谓项又称关系，是指各个对象之问的某种关系。如“大于”、“平行于”分别是两个命题的谓项。
量项表示主项的数量。每一个关系项，都是有量项的。同性质命题一样，关系命题的量项也有单称、全称与特称三种。如“一切”就是全称量词。
如果用a，b表示两个主项，用R表示关系，那么例子中的两个命题就具有下面的形式：
所有aRb；aRb
关系可以存在于两个或两种事物之间，也可以存在于两个或两种以上的事物之间。例如，“点A在点B与点C之间”，就是三个事物（点A、点B与点C）之间的一种关系。存在与两个事物之间的关系，通常称为二元关系。数学中的二元关系常见的有自反关系、对称关系和传递关系。
1．自反关系
如果R是定义在集合S中的一个二元关系，且对每个x∈S，有xRx，则称二元关系R在s中是自反的。例如，实数集合中的相等关系、三角形集合中的全等关系都是自反的。
如果在集合S中没有一个元素和自己具有关系R，则称二元关系R在S中是反自反的。例如实数集合中的大于关系、小于关系都是反自反的。
2．对称关系
设R是定义在集合S中的一个二元关系，对每个x，y∈S．如果xRy，就有yRx，则称二元关系R在S中是对称的。例如，实数集合中的相等关系、直线集合中的平行关系、垂直关系、三角形集合中的相似关系等，都是对称关系。
设R是定义在集合S中的一个二元关系，对于每个x，y∈S，如果xRy，就必有
（即x和y不具有关系R），则称关系R在S中是反对称的。例如，实数集合中的大于关系、小于关系，都是反对称关系。
3．传递关系
设R是定义在集合S中的一个二元关系，对每个x，y，z∈S，如果zRy且yRz，就有xRz，则称二元关系R在S中是传递的。例如，实数集合中的相等关系、大于关系、小于关系，直线集合中的平行关系、三角形集合中的全等关系、相似关系等，都是传递关系。
设R是定义在集合S中的一个二元关系，对于每个z，y，z∈S，如果
且yRz，就有xRz（即x和z不具有关系R），则二元关系R在S中是反传递的。例如，同一平面直线集台中的垂直关系是反传递关系。
设R是定义在集合S中的一个二元关系，如果是自反的、对称的和传递的，则称R为S中的一个等价关系。例如，三角形集合中的相似关系、全等关系都是等价关系。
三、复合命题
1．逻辑联结词
复合命题是两个或两个以上简单命题被逻辑联结词结合起来而构成的命题。
常用的逻辑联结词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等五种。下面我们依次介绍这几个逻辑联词。
（1）否定（非）
在一个语句的前面冠以“并非”两字，就构成了一个新的语句，叫做原来语句的否定。相应的命题叫做原来命题的负命题。
命题p的否定命题记作
，读作“并非p”，或简单地读作“非p”，称
为p的否定式。很明显，如果p为真，则
为假；如
为假，则p为真。这样，我们可用下面的真值表来表示：
特别地
＝0
＝1（这里“1”表示真语句，“0”表示假语句）。不难看出
＝p。
值得指出的，否定与“换质”不同。例如“一切S是p”的换质是“一切S不是p”，而否定则是“并非一切S是p”（这里并不排除有些
是p）。例如，命题“
是无理数”，这是一个真命题，它的否定式为“并非
是无理数”，即
不是无理数”是一个假命题。
（2）合取（与、并且）
两个语句p，q用“与”联结起来所构成的新的语句“p与q”称为合取式，有时也称为联言命题，记作“p∧q”，p，q称为联言肢。
当且仅当p，q都为真时，p∧q为真，其他都为假。即
类似地，我们可以把两个以上的语句用“∧”联结起来构成一个新的语句。显然，当且仅当所有的语句为真时，合取式为真，否则为假。例如，“15是3的倍数”、“15是5的倍数”，这是两个真命题，其合取式为“15是3与5的倍数”，也是一个真命题。
（3）析取（或）
两个语句p，q用“或”联结起来所构成的新的语句“p或q”称为析取式，有时也称为选言命题，p，q称为选言肢。
“或”有两种不同的意义。一种是不可兼的“或”，用p
q表示。例如，我爬山或游泳；△ABC或是锐角三角形，或是直角三角形，或是钝角三角形。这种不可兼的“或”排除选项同时存在的可能。另一种是可兼的“或”，用p∨q表示。例如，我拉手风琴或我唱歌；a大于或等于b。这种可兼的“或”并不排除选言肢同时存在的可能。以后没有特别的声明，我们所说的析敢是指可兼析取。
可兼析取的真值表是：
例如，命题“2大于2”和“2等于2”，前者是假命题，后者是真命题，其析取式为“2大于或等于2”，这是一个真命题。
（4）蕴涵
用“若（如果）、则（那么）”将两个语句联结起来构成“若……则……”的复合语句称为蕴涵式，或叫充分条件假言命题。“若p则q”我们用符号p─→q表示。读作“p蕴涵q”，其中P叫做前提（前件），q叫做结论（后件）。若p真q假，则p─→q为假；在p，q的其余情况下，p─→q均为真。p─→q的真值表是：
（5）等值
将两个语句用“当且仅当”联结而成的语句称为等值式，或称充分必要条件假言命题。记作p←→q，读作“p当且仅当g”。
当我们断定一个由命题p，q构成的等值式时，意思是排除它们之中的一个是真的另一个是假的可能性。因此，我们说p当且仅当q就是说如果p和q都是真的或都是假的，则这个等值式是真的，否则是假的。于是有真值表：
否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式是复合命题中最简单、最基本的形式。由这些基本形式，经过各种组合，可以得到更为复杂的复合命题。为了省略括号，通常约定逻辑联词—，∧，V，→，←→的结合力依次减弱。例如，我们将（pVq→─）r记作pVq→r。
2．复合命题的值
复合命题的真值取决于它包含的各个命题的真假。根据复合命题各种基本形式的真值表，可以确定复合命题在各种形式下的真值。
例1求下列命题的值
（1）p∧
（2）［（p→q）∧（q→r）］→（p→r）
解（1）依合取和否定的定义，有
（2）依蕴涵与合取的定义，有
例1表明，无论p取什么值，p∧
总是假的；无论p，q，r取什么值，（p─→q）∧（q─→r）〗─→（p─→r）总是真的。在命题逻辑中，把在任何情况下总是假的命题称为恒假命题，在任何情况下总是真的命题称为恒真命题。所以，例1中（1）是恒假命题，（2）是恒真命题。
恒真命题在逻辑上起着十分重要的作用。比如，例1中（2）这一恒真命题，揭示了蕴涵的传递性，在形式逻辑中称为假言三段论定律。
3．逻辑等价
如果两个命题A，B的真值表完全一样，则这两个命题A，B逻辑等价，记作
。逻辑等价的两个命题，在推理论证时可以互相替换。例如，（P─→q）∧（q─→p）与p←→q的真值表如下：
由此可见，（p→q）∧（q→p）与p←→q真值表相同，故它们是逻辑等价的。因此，（p→q）∧（q→p）
p←→q
在命题逻辑中，常用的等价式有：
（1）幂等律：P∧p
p；pVp
p
（2）交换律：
（3）结合律：
PV（qVr）
（4）分配律：p∧（qVr）
（p∧q）V（p∧r）；
pV（q∧r）＝（pVq）∧（pVr）
（5）吸收律：
（6）德·摩根律
（7）双重否定律
（8）么元律
（9）极元律：
（10）互补律
以上各组等价式，可用真值表验证。利用上述等价式，可以将结构复杂的命题化简，推证两个命题的等价关系。