第一节 数学思维
一、思维与数学思维
在现代心理学中，思维被理解为“受社会所制约的，同言语紧密联系的，探索和发现崭新事物的心理过程，是对现实进行分析和综合中间接概括反映现实的过程。思维在实践活动基础上由感性认识产生并远远超出了感性认识的界限。”
也有人说，思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内部规律性。
然而，虽然各家心理学文献对思维意义的叙述都不尽相同，但细致分析却没有什么本质差异。把他们的叙述概括起来，不外乎包括两个方面，一是能反映，二是有意识。能反映，这是因为人脑是高度组织起来的特殊物质，是迄今所知道的最复杂的物质，是思维的器官，这个器官天然地能够反映客体，这种天然的反映形式就是感觉。在这点上，人脑和动物的脑是一样的．反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其外部联系，属于感性认识。有意识，这是指人脑和动物脑的一个显著区别，人脑可以产生意识（头脑中已有知识和自觉摄取知识的习性），而动物没有意识。所以说，用意识装备起来的头脑去反映的可以是一类事物共同的、本质的属性和事物是内在的、必然的联系，即这时已超出了感性认识的界线，属于理性认识。这就是思维的直接本质。
例如，我们常见到刮风、下雨，这只是对这些自然现象的感知觉（动物也能做到的反映），但如果我们要研究为什么会刮风、下雨，并把这些现象和吹气、扇扇子、玻璃窗上结水珠、水管子“冒汗”、壶盖上滴下水珠等现象联系起来，发现它们都是“空气对流”的表现或“水蒸气遇冷后液化”的结果，那么这就已深入到事物的内部，进行着把握因果关系的思维了。
又例如，在对三角形的认识中，感知觉只能反映各种三角形的形体和大小，而思维则能舍弃三角形的具体形状和大小等非本质的特征，而把任何三角形都具有三条边和三个角这一共同的、本质的特征概括出来。因此，人的思维实现着从现象到本质，从感性到理性的转化，使之达到对客观事物的理性认识，从而构成了人类认识的高级阶段。
综上所述，思维的本质是具有意识的头脑对于客观事物的反映。“具有意识的头脑”的含义是有知识的头脑，又是具有自觉摄取知识的习性的头脑。从思维的角度讲，“对于客观事物的反映”指的不是对于客观事物的表面现象的反映，而是对于客观事物的内在联系和本质属性的反映。这一点很重要，否则就可能出现理解上的混乱，因为概括性不限于思维，知觉和表象也有概括性；间接性也不局限于思维，想象就是间接的反映，所以思维是客观事物的内在联系和本质属性的反映。反映的方式不是直观的、零散的，而是间接的和概括的。
现在。我们来看看数学思维。所谓数学思维应该这样来理解：它是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，又表现出它自己的特性，这种特性是由数学学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。下面对此作一点具体分析。
（1）我们知道。思维具有两个基本的特性，即思维的间接性和概括性。那么，由数学的高度抽象就导致了数学思维的间接性更强，有人称之为间接中的间接。比如数学的概念是对数学本质的抽象，这种抽象只保留了事物量的关系和空间形式而舍弃了事物本身的其他自然性质。如数学中的点不是纸上的一个黑点；集合在数学中既不是具体对象的堆积，也不是纸上的记号。还比如，数学中的判断和推理是通过用数学或逻辑的术语及其相应的符号表示的数学语句。这种抽象程度大大超过了自然科学中任何一种抽象。正因为这样，所以有人说，任何一种思维也不及数学思维更间接。
（2）数学的研究对象本身是概括的结果，如自然数概念和点、线、面等概念在客观世界中并不真正存在，而是从现实世界中概括出来的，并且这种概括的结果大多以理想化的形式出现；另外，不但数学概念是抽象概括的产物，而且数学逻辑推理规则、方法也同样是总结了许多世代长期积累起来的经验，在实际应用中固定下来，概括成为一定的方法和规则。因此，数学思维是在概括基础上的再概括。
（3）数学语言是数学特有的形式化符号体系。依靠这种语言进行思维能使思维在可见的形式下再现出来。例如教室里有40个学生，写成“40”后，不但思维者本身能感知到这40个学生的数目，而且他人看到“40”也能感知到40个学生的数目。同时，有了数学特点的语言，数学思维的结果可用简洁的形式表达。例如“y＝f（x）（x∈R）”这一符号非常简洁地表示了“定义于R，以，作为对应法则的函数”。另外，通过数学语言，能加速数学思维的进行，因为这时的思维可以在形式下进行，而省略其过程中某些具体到抽象的过程。
（4）数学中充满着大量的辩证关系是为人所知的。因此，数学思维有时是指一种形式，这种形式表现为人们认识具体的数学科学，或是应用数学于其他科学、技术和国民经济等的过程中的辩证思维。
二、数学思维的基本成分
数学思维就其基本成分而言，一般分为具体形象思维、抽象逻辑思维与直觉思维三种，它们分属于三种不同层次的思维。
1．形象思维及其特征与规律
形象思维是人类的基本思维形式之一，在科学创造和艺术领域里，形象思维具有不可低估的作用。在数学领域里，形象思维是普遍存在的，它不仅是数学思维发展的一个阶段，而且在数学创造中，形象思维成为一种高级复杂的创造性活动。
数学形象思维的过程是对一类特殊的思维材料的加工创造过程。这类特殊的数学思维材料，就是具体可感知的表象材料。通过对原有的数学表象的提炼改造加工处理，即按照数学的逻辑和思维的目的对原有表象有意识地、有指向性地选择和重新排列组合，形成新的“意向”，从而提出数学问题或解决数学问题。如数学中著名的“四色猜想”的提出，就是借助于具体的表象材料“地图”、“着色”进行心理加工，并不断渗透理性内容，从而得出“任何一张地图只要用四种颜色，就可以使相邻的不同区域染不同的颜色”的猜想。由此可见，数学形象思维的基本特征就是，以物象为思维材料，在整个思维过程中都不脱离形象，始终具有具体可感性。
数学形象思维有如下的功能：
第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。如“大漠孤烟直，长河落日圆”的诗句，前者描述了直线与平面垂直的形象，后者表现出直线与圆相切的画面。“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”的诗句，是一个活脱脱的孤帆运动的极限过程。如著名的“七桥问题”，欧拉在解决这一问题时使用形象思维将问题转化为封闭曲线交点的“度”的问题来考虑，显示出形象思维的突出优势。正如美国数学家斯蒂恩所说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”
第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。从古到今，形象思维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。
第三，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。抽象思维是一种概念的运动，在认识真理方面具有无可怀疑的可感力与优越性。但由于在运动和发展中完全脱离具体的可感的材料，如果再加以绝对化，那也会陷入形而上学的泥潭。比如这样的一个数学问题：一块正方板，锯掉一个角，还剩几个角？如果按抽象思维形式，答案可能是“3”，若按形象思维形式，答案则为“3或5”，后者显然是正确的。
2．数学逻辑思维的特征与规律
数学逻辑思维是数学思维最基本的形式，它的最基本的特征就是以反映客观事物数学本质属性的概念为思维材料。在数学概念的基础上，通过一定的逻辑法则进行推理，形成概念、定理、原理。在数学逻辑思维中，概念如“珠”，逻辑如“线”，思维结果就是“一串珠”，即概念的逻辑链，或称为数学理论体系。
数学逻辑思维方法有归纳和演绎，分析与综合，具体与抽象等。
数学逻辑思维的主要功能表现在它是认识数学概念、建立数学理论体系乃至其他科学理论体系最主要的工具。
3．数学直觉思维的特征与规律
数学直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。它是一种逻辑跳跃式的思维。它是根据对事物的生动的知觉印象，直接把握事物的本质和规律。它存在于个体的日常生活中，当然存在于思维活动中。在数学思维活动中，直觉思维是非常重要的，数学中的发明与创造很多是直觉思维的结果。如两点之间直线最短，是出于直觉的认识；过直线外一点，只能作一条直线与已知直线平行，是出自直觉的自明。大数学家庞加莱认为，数学的创造无非是一种组合的选择而已，而数学家在由数学概念、判断、结构等构成的无穷的组合中选择有用的组合，得到创造性的成果，靠的就是直觉。
数学直觉往往是受视觉触发，突然地领悟道理，作出判断，得出结论，因而它具有突发性。在直觉思维中，不作详尽的分析和推理，直接接触结果，是一种逻辑的跳跃，因而又具有直接性。直觉思维的结果常表现出新的突破，新的结论，带有极强的创造性。前苏联科学史家凯德洛夫指出：“没有任何一种创造行为能够脱离直觉活动。”
值得指出的是，直觉思维是在人的实践经验知识的基础上，形成和发展起来的一种认识能力。任何直觉思维都是持久探索和思考的结果，虽然在形式上表现为逻辑跳跃和中断，但它仍是理性的思维，理性的积淀，而决非是盲目的。
三、数学学习与思维发展
1．思维发展的年龄特征
学生的心理是随年龄的增长和年级的增高而不断发展的，其中包括认识过程、情感过程、意志过程以及个性心理特征的发展。这里，我们只就认识过程的核心——思维的发展作一讨论，研究一定年龄阶段中概括出来的那些一般的、本质的和典型的特征，即思维发展的年龄特征。根据思维发展心理学的研究，一个人从出生到成年，思维发展的年龄阶段如表4—1。
表4－1
（1）从出生至3岁，主要是感知动作思维。这是在感知和操作中进行的思维，这种思维以感知动作的存在为界，感知和动作停止了，它也就停止了，以此可以区别于其他各类思维。例如，这时的儿童通过实物或手指的活动来帮助计数。表4－1
（2）幼儿期或学前期（3～6，7岁），主要是具体形象思维。这是指离开感知和动作而利用脑中所保留的事物形象（表象）所进行的思维，它以离不开具体形象为其特征。例如，这阶段的儿童，虽能计算5加上3等于8，但实际上他们并不是对抽象的数进行计算，而主要靠脑子中5个苹果和3个苹果的实物素象进行相加而得到的。
（3）学龄初期或小学期（6，7～11，12岁），主要是形象抽象思维，即由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。所谓抽象逻辑思维，是指离开具体形象，运用概念、判断和推理等进行的思维，它是在感性认识的基础上，运用概念、判断和推理等理性认识形式对客观世界作间接、概括的反映过程。
（4）少年期（11，12～14，15岁），主要是以经验型为主的抽象逻辑思维（简称为经验型思维）。也就是说，这时学生（初中生）的抽象逻辑思维水平虽有很大提高，但还需要具体形象或经验的直接支持，而且初一到初三各年级的情况也很不相同。
（5）青年初期（14，15～17，18岁），主要是以理论型为主的抽象逻辑思维（简称为理论型思维）。也就是说，这时学生（高中生）的抽象逻辑思维，可以摆脱具体事物形象，具有更高的抽象概括性，并且开始形成辩证逻辑思维。例如，掌握函数、极限等概念和性质，需要按照运动变化、对立统一等辩证法的规律去进行思维。
应该指出，由于社会科技的进步、传媒技术的飞速发展，儿童很早就能看到广泛的世界，青少年提前进入社会，上述思维发展的年龄阶段也存在着前移的趋势。
2．思维发展的“关键期”与“成熟期”
思维发展并非总表现为直线上升，而有一个从量变到质变的过程。就中学阶段思维发展的过程来看，出现质的飞跃，一是在初二年级，表现为从经验型思维向理论型思维转化，处于思维发展的转折点，称之为“关键期”；二是在高一到高二年级，这时学生的思维活动初步成熟，思维发展处于“成熟期”，高二以后学生智力发展日趋稳定和成熟。
3．思维发展的差异性
上述思维发展的年龄特征，如思维发展的阶段性和顺序性等，具有普遍的意义。但个体之间的思维发展会存在差异，而且并非到了一个年龄阶段，思维就与前后阶段截然不同。例如，少年期往往保留着具体形象思维，而理论型思维也已开始发展。就个体思维发展的进程和速度来看，彼此之间是存在着一定差异的．如同一年级的学生，有的已是理论型思维，有的却停留在经验型思维，这样就给课堂教学带来困难，也从一个侧面提出了课堂教学活动如何做到面向全体学生和因材施教相结合，怎样开展个别化教学活动等问题。另外，思维的发展是受种种因素影响的。特别要指出的是，教育能加速或延缓思维发展的进程，所以进行合理的早期教育、家庭教育是有必要的。
4．思维发展与数学学习
现在，从思维发展的观点出发，讨论有关数学学习的问题。
数学学习要以学生一定的思维发展水平为前提，反过来，学习数学又能大力促进学生思维的发展。教师在指导学生学习数学时，要与学生思维发展的进程相吻合，既不能不顾学生思维发展的阶段、水平，要求他们学习难度过大或过于抽象的内容，从而造成“消化不良”和学习负担过重，也不能低估学生思维发展水平，降低学习要求，阻碍学生学习潜力的发挥，造成教学内容贫乏和过易，从而直接影响他们思维的发展和能力的提高。因此，在向学生提供学习材料时，要根据他们的具体情况，作精心设计与处理，既不应使学生轻易地得到解决，也不能是他们力所不及、无法解决的，而是经过学生的努力可以解决与接受的，“跳一跳可以够得着的”。这样才能起到促进思维的发展和提高能力的作用。
学生学习数学的方式、方法，是随他们思维的发展而变化的。例如，处于经验型思维的初中学生，学习数学概念时，需要具体的例子与经验作支持，否则还难以接受；而处于理论型思维的高中学生，则可摆脱具体的例子与经验这根“拐杖”，直接理解用语言或符号陈述的新概念。当然，这并不是说对于高中学生可以不再使用具体例子，而是在于使用具体例子的作用方面与初中学生有所不同。对于高中学生，在学习概念时使用具体例子，是为理解它的真正抽象意义，为使学习更生动、更鲜明。由此可见，提供给学生学习的材料，应与他们的思维发展水平相一致。例如，计算“凸”边形对角线的条数。对处于形象思维阶段的学生来说，可以用实验归纳法，画图去数：
n＝3，三角形对角线条数为0∶0＝
n＝4，凸四边形对角线条数为2∶2＝
n＝5，凸五边形对角线条数为5∶5＝
n＝6，凸六边形对角线条数为9∶9＝
然后进行不完全归纳，得出凸n边形对角线的条数为
而对处于经验思维型的学生，可以进一步推理计算，一个顶点引出n－3条对角线，n个顶点共计n（n－3）条对角线，但每条对角线以两个顶点为端点，每条对角线都被计数两次，所以凸n边形对角线的条数为
条。
对理论思维型的学生，可以用组合方法来计算个点两两连接共得
条线段，减去n条边剩下的就是对角线的条数
－n＝
。对理论思维型的学生也可以用数学归纳法来证明。
从思维发展的角度来分析，学生采用什么样的思维方式，往往与学习材料的新旧、难易密切相关。如果学习的内容是学生首次接触的新学科或超过了一定的难度，那么他们学习这些内容的思维发展水平就常会倒退到原来的思维发展阶段，如从理论型思维倒退到经验型思维。例如，开始学习立体几何这门新学科时，虽是高中学生，但仍然需要举一些实例或观察实物模型，这样才容易接受，而不能省去这根“拐杖”。又如，反正弦函数概念的建立，是个学习的难点，如果直接给出定义，就是进入高二年级的学生也难以理解。这时可以通过学生所熟悉的建立反函数的例子（如求函数y＝x2在［0，＋∞］上的反函数）以及正弦函数y＝sinx的直观图像，引导学生学习反正弦函数的概念。当然，这并不意味着思维发展阶段的不存在。事实上，对学习难度大的内容或开始接触学习的新学科，处于理论型思维的学生与处于经验型思维的学生相比较，不仅前者接受快，领会深刻，而且能较快地转化为理论型思维。因此，对于难度大的内容或新学科的开始阶段，在教学时都必须认真对待，讲究教学方法，绝不能掉以轻心，否则会影响学生今后的整个学习。
要根据学生思维发展的规律进行教学。中小学生思维发展有其规律，在数学教学时就要适应这个规律，促进学生思维的健康发展。例如，初二年级的学生处于思维发展的关键期，思维的方式、方法和品质都处于一个新的转折点。在此期间，思维的抽象、概括、分析、综合、判断、推理等都在迅速发展，前后有明显的差异。从数学教学实际情况看，初二年级往往是产生学习分化的一个焦点，不仅是几何学习，就是代数学习的分化也很明显，原来数学学习优秀的学生不一定仍保持优秀，甚至会成为中等生或困难生，而原来数学学习中等或较困难的学生，也会有成为学习优秀生的。因此，在数学教学过程中，就要精心设计安排，不失时机地进行培养．防止出现不正常的分化。在北京市实验教材编写中，不是因为平面几何推理一时难以掌握就简单地将其砍掉或甩给高中，采用只顾眼前不管以后的做法，而是分散难点，在第一章从生活中的推理开始逐渐提高要求，使学生对推理有一个逐步熟悉的过程。又如，高一到高二年级是学生思维发展的成熟期，思维的方式、方法和品质等趋于稳定和成熟。一般认为，思维发展成熟前，抽象概括、分析综合和推理论证能力要比成熟后的变动性、可塑性大。因此，在数学教学中必须抓好成熟期前的教育，及时促进思维的发展与能力的提高，这样，才能起到事半功倍的效果。
四、数学思维品质和创造性思维的培养
1．思维的品质
思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此，在数学教学中要重视对学生良好的思维品质的培养。数学思维品质主要有以下几个方面：
（1）思维的广阔性
思维的广阔性表现在能多方面、多角度地去思考问题，善于发现事物间的多方面的联系，找出多种解决问题的办法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些有普遍意义的方法，或扩大解题中得到的结果的适用范围，或将其推广到类似的问题中去。因此，思维的广阔性也称为思维的概括性。
例如，在圆x2＋y2＝9上有一点P，圆内有一个定点A（－2，0），求线段AP中点的轨迹方程。解题时，引人参变量，利用中点坐标公式可以推导出它的轨迹方程。
若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线，或把已知曲线方程改为参数方程形式，解题思路是相同的。
若把条件“圆内有一个定点”改为圆外或圆上，解题思路也相同。
若把结论“中点的轨迹方程”改为把线段AP分成定比的分点的轨迹方程，解题思路仍基本相同。如果学生能够进行上述的变换和转化，这表明学生思路宽广，思维没有在证明了该题后止步，还思考着当题中的条件或结论发生变化时，题中的思想方法是否还能使用。
思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体表现为思考问题时脑子经常放不开，跳不出条条框框的束缚，思维处于封闭状态。在学生的数学学习中经常表现为只是围着书本和教师转，或者陷入题海之中，得不到主动发展。长期下去必然造成学生思维的片面和狭隘。
（2）思维的深刻性
思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握住它的本质，而不被一些表面现象所迷惑；能区分哪些是严格证明而哪些是“大概对的”，特别要在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病。例如在概念学习中，要分清一些容易混淆的概念，如正数和非负数、方根与算术根、充分条件与必要条件等；在公式、定理、法则的学习中，要完整地掌握它们（包括条件、结论和适用范围），领会其精神实质，思考它们为什么成立，在什么条件下成立；在解题时，要领会解题方法的实质。
思维的深刻性的反面是思维的肤浅性，经常表现为只满足一知半解，对概念不求甚解；考虑问题时，不去领会问题的实质，照葫芦画瓢。
例如，已知方程x2＋x＋p＝0的两个虚根为α，β，且｜α－β｜＝3，求实数P的值。
在审题中，有不少学生由｜α－β｜＝3得到α－β＝±3或｜α－β｜2＝（α－β）2，从而造成原则性的错误，其根本原因是没有深入思考实数的绝对值与虚数绝对值的本质差异，从而造成错误，这是思维缺乏深刻性的表现。
（3）思维的灵活性
思维的灵活性表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时地调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的概念、定理、公式、法则，并且思维不同于固定程式或模式，具有较强的应变能力。爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。
思维灵活性的反面是思维的呆板性。知识和经验经常被人们按照一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了—种先人之见，使思维倾向于某种具体的方法和方式，使人在解题的过程中总想遵循业已知道的规则系统。这即是思维的呆板性。
例如，已知二次方程（a－b）2＋（c－a）x＋（b－c）＝0（a，b，c∈R）有相等实根，求证a，b，c成等差数列。对此题，若学生思维呆板，则会总是停留在利用一元二次方程根的判别式上，而不能根据本题条件，得出其他证法。而思维灵活的学生，则能从观察该方程的特点人手，立刻得知该方程的相等实根为1，于是由韦达定理得（b—c）／（a－b）＝1，从而立即得出结论。
（4）思维的批判性
思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣与否；喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云。也不自以为是。
思维批判性的反面是无批判性，这也是许多中学生的思维特点。他们常常表现为轻易相信结论，不善于或不会找出自己解题中的错误。
例如，1987年全国高等学校招生理科数学试题：一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差．求斜高。
由本题的已知条件可得：下底面积＝侧面积＋上底面积
这一关系直接与下列定理相悖：多面体任何一面的面积小于其他各面面积之和。所以，原题是个错题，但很少学生产生质疑，还是循规蹈矩地计算，得出斜高为
。这显然是缺乏思维的批判性。因此，在数学教学中要特别注重培养学生乐意进行各种方式的检验，善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考．找出问题所在的良好习惯。
我国数学家华罗庚指出：“学习前人的经验，并不是说要拘泥前人的经验，我们可以也应当怀疑与批评前人的成果。但怀疑和批评必须从事实出发。”而华罗庚本人就是一位治学严谨．不盲从前人、古人、权威，既独立思考，又实事求是的数学家。早在1929年，已经对数学有浓厚兴趣，并进行了初步探索的华罗庚虽只是初中毕业，却对苏家驹发表在《学艺》杂志上的论文《代数的五次方程式之解法》进行了质疑。华罗庚在1930年12月出版的《科学》15卷2期上发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，这篇文章对华罗庚的个人命运是决定性的。他于该文发表后的第二年，即1931年，被数学家熊庆来调到清华大学数学系任助理员，从此走上了一条通往大数学家的征途。华罗庚人生的最大转折就得益于即独立思考，又实事求是的勇于批判的精神。
（5）思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。具有这一思维品质的人在处理问题和解决问题的过程中，能够适应迫切的情况来积极地思考，并迅速地作出判断。当然，思维的敏捷也包括正确的程度，也就是说思维的轻率性绝不是思维的敏捷性品质。另外，思维的敏捷性也要求具有记忆的条理性。即记住的东西经久不忘，迅速而正确地再现知识和把经验条理化。只有记忆有条理，才可能在思维过程中实现经济原则，达到思维的敏捷性。相反，如果记忆杂乱无章，则必然出现既不能记住本质的东西，又不能及时再现思维所需要的东西，所以很难达到思维的敏捷。甚至，可能出现它的反面——思维的迟钝性。
在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能缩短运算环节和推理过程，“直接”得到结果。例如，学生刚学完两数和的平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，而对于
（x＋y＋z）（x＋y＋z）＝？
这时思维迟钝的学生可能仍按照多项式的乘法规则来做，显得非常繁琐。而思维敏捷的学生可能一下子就能得到：
（x＋y＋z）（x＋y＋z）＝（x＋y＋z）2
＝［（x＋y）＋z］2
＝（x＋y）2＋2（x＋y）z＋z2
＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz
（6）思维的创造性
有些心理学文献认为思维活动的创造性、独创性或创新性思维是一个概念，只不过从不同角度分析罢了。我们认为思维的创造性和它们具有相同的含义。思维的创造性表现为能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新的见解和采用新的方法的思维品质。例如，数学王子高斯10岁时，有一次，教师在课堂上给学生出了这样一道算术题：
计算1＋2＋3＋4＋…＋100等于多少？并以鼓励的口气说看谁算得最快。高斯很快举起了小手，并脱口说出了正确的答案，其速度之快，使老师大为吃惊。那么高斯是怎样即快又准确地算出结果来的呢？高斯不是用1＋2＝3，3＋3＝6，6＋4＝10……这样常规算法，而是采用新的算法，将左右两端处于相对称位置的两个数相加，所得的和都是101，由于100个数可以组成50个对称组，所以101×50＝5050。这是思维具有创造性的表现。
思维的创造性是创造性人才的主要特征，是人类思维的高级形态，是智力活动的高级表现。它是根据一定目的，运用一切已知信息，在新异情况或困难面前采取对策，独特地、新颖地且有价值地解决问题的过程中表现出来的智力品质。任何创造、发明、革新、发现等活动都离不开创造性思维。
根据心理学家林崇德教授的研究，创造性思维具有如下五个重要特点：
①新颖、独特且有意义的思维活动
“新颖”是指前所未有，除旧立新；“独特”是指不同寻常，别出心裁；“有意义”是指具有社会或个人的价值。需要指出的是，一些精神病患者有时也会有某些新颖、独特的想法，但是因为不具有社会或个人的价值，因此不能称为创造性思维。
②思维加想象是创造性思维的两个重要成分
面临一个别人未能解决的新问题，只有通过想象，加以构思，才能得以创造性地解决。爱因斯坦曾经说过：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
③在创造性思维过程中，新形象和新假设的产生有突然性，常被称为“灵感”
灵感是对巨大劳动的奖赏，跟强烈的创造动机和对思维方法的不断寻觅紧密相连。四元数的发现，被誉为19世纪的七大发现之一，对近世代数产生了很大影响。数学家哈密顿曾为这个数学问题苦心研究了15年，想不到竟在一次散步时，当他步行到希洛汉桥时，思想突然迸发出火花，终于提出了四元数的基本公式。后来，爱尔兰皇家协会为了纪念这个伟大发现，就把希洛汉桥改名为“四元数桥”。加强对学生有意注意的培养，可为灵感的萌发奠定基础。
④分析思维和直觉思维的统一
分析思维就是按部就班的逻辑思维，而直觉思维则是直接领悟的思维。人的思维方式有两种：一是分析思维，即遵循严密的逻辑规则，逐步推导，最后获得符合逻辑的正确答案或结论；二是具有快速性、直接性和跳跃性，看不出推导过程的直觉思维。例如，一位数学教师在黑板上出了一道有一定难度的几何证明题，题刚写完，就见一名学生冲上去，添上一条辅助线就将题证出了。老师问：“你是怎么想的？”学生直摇头。“那你为什么要添这条辅助线？”“我也说不清，只是一看题就知这么做对。”这是比较典型的直觉思维的例子。爱因斯坦认为，直觉思维是创造性思维的基础。
⑤创造性思维是发散思维与辐合思维的统一
发散思维是一种要求产生多种可能的答案而不是单一正确答案的思维。其特征是个人的思维沿着许多不同道路扩展，观念发散到各个有关方面，常常会由此得到新颖的观念和解答。辐合思维又称求同思维，是指要求得出一个正确的答案的思维。其特征是搜集或综合信息与知识，运用逻辑规律，缩小解答范围，直至找到最适当的解答。我们在强调发散思维作用的同时，应该看到辐合思维与发散思维是相辅相成、辩证统一的，它们是智力活动中不可缺少的两种形式。
在数学教学中，思维的独创性不能片面地理解为科学家的创造发明所表现出的新颖性，而是主要表现在学习数学的过程中善于独立地思索、分析和解答问题，提倡探讨与创新意识，当然也包括小发明创造。
思维的创造性的对立面是思维的保守性，它的主要表现是在数学学习中受到各种条条框框的限制，思维被一些俗套所束缚，不愿多想问题，只求现成的“法则”，而产生思维的惰性。因此，我们在日常教学中，要培养学生独立思考的自觉性和习惯，教育他们要勇于创新，敢于打破常规的思考方法和解题模式，大胆提出新的见解和解法，使他们逐步具有思维独创性的良好品质。
上述思维的品质彼此相互联系，密不可分，处于有机的统一体中。其中思维的深刻性和广阔性分别从纵向和横向两个角度表现出思维的品质，它们是一切思维品质的基础。思维的灵活性和创造性是在深刻性和广阔性的基础上延伸出来的。思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的品质，只有深刻的认识，周密的思考，才能更深刻地揭示事物的本质和规律。思维的敏捷性是以思维的其他品质为必要前提的，同时它又是其他品质的具体表现。
2．数学教学中的创造性思维培养
有些人认为，创造是科学家、艺术家的事，它与大众和普通学生无缘。其实不然，邵瑞珍教授认为，创造可分为真创造和类创造两种。真创造是科学家和其他创造发明家最终产生了对人类来说是新的知识和有社会价值的成品的活动。类创造是对个体而言的，其思维或品质对个人来说是新的，而对人类来说是已知的，所以将这种活动称为类创造。心理学家吉尔福特认为：创造性再也不必假设为仅限于少数天才，它潜在地分布于整个人口中间。心理学家亚历山大‘纳乌莫维奇·鲁克也说：事实上，创造能力的素质是每一个人、每一个正常儿童所固有的，需要的只是善于把它们揭示出来并加以发展。因此，我们必须摒弃“创造是天才们的专利”的陈腐观念，树立起“人人能创造”的现代意识。
审视我国学生的创造性现状，情况令人担忧。杨振宁教授1995年来国内讲学时，说过这样一段话：在国外，中国留学生无论在普通大学，还是一流大学，学习成绩都是非常出色的。但是中国留学生胆小，老师没有讲过的不敢想，老师没有做过的不敢做。诺贝尔奖获得者美籍华人朱棣文教授说：美国学生学习成绩不如中国学生，但是他有创新及冒险精神，所以往往创造出一些惊人成就。创新精神强、天资差的学生往往比天资强而创新精神不足的学生能取得更大的成就。有调查资料表明，当前我国大学毕业生中，95%以上的人长期不能或不会进行各种创造发明活动。学生创造力缺乏的主要原因在于：我国教育长期忽视学生创造性的培养，总是沿袭知识型教育模式片面追求升学率。在这种模式中，知识、技能是学生唯一的追求，智能被忽略，创造性被扼杀。
当然，我国也有一些优秀教师在培养学生的创造性思维方面做了许多有益的探索，并取得了成效。下面介绍的就是在数学教学中培养创造性思维的若干成功经验。
（1）培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜想
归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而导出一个一般性结论的方法，是一种从特殊到一般的推理方法。人们以某些已知的事实和一定的经验为依据，对数学问题作出推测性的判断，即构成命题，这样得到的命题需要进一步证明其真假，这种尚未判明真假的命题称之为猜想。人们常常运用归纳法。得出对一类现象的某种一般性认识的推测性判断，即猜想，这种思想方法为归纳猜想。
例如，人们在量度了很多个圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3．14，于是提出了圆周率是3．14的猜想。后来，数学家从理论上证明了圆周率的数值为“，果然和3．14很接近。
归纳猜想在数学教学中的作用有：
①用归纳猜想探索数学规律
例如，在高中代数中学习组合数性质时，先让学生经过计算考察下列组合数：
从而归纳猜想出组合性质：
，最后再对该性质加以证明。
②用归纳猜想帮助解题
例如，求一个质数，当它分别加上lO和14时仍为质数。
首先用归纳法进行试验：
2＋10＝12，2＋14＝16，质数2不合要求；
3＋10＝13，3＋14＝17，质数3符合要求；
5＋10＝15，5＋14＝19，质数5不合要求；
7＋10＝17，7＋14＝21，质数7不合要求；
11＋10＝21，11＋14＝25，质数11不合要求；
17＋10＝27，17＋14＝31，质数17不合要求；
53＋10＝63，53＋14＝67，质数53不合要求。
归纳上述试验，可以建立猜想：符合要求的质数只有3．即除了3以外的其他质数分别加上10和14不能都是质数。
因为质数的变化规律相当复杂，不能用解析式子把它表示出来。倘若能证明除了3以外的所有自然数分别加上10和14不能都是质数，也就证明了除3以外的所有质数分别加10和14不能都是质数。为此，可把自然数分成三类：3n，3n＋1，3n＋2（n∈N）。
因为（3n＋1）＋14＝3（n＋5）是合数
（3n＋2）＋10＝3（n＋4）是合数
所以3n＋1和3n＋2这两类自然数中的质数都不符合要求．而在3n这类自然数中，只有当n＝1时，3n才是质数，其余都是合数。因此，符合要求的质数只有3。
所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。它常称为类比法，也称类比推理。波利亚认为，类比就是一种相似，类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。由类比得到的猜想称为类比猜想。
类比法在数学教学中的作用有：
①通过类比学习新知识
例如，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都很相似。可以说，分式与分数几乎在所有的项目上都是对应相似的，因此可以通过与分数进行类比的方法进行学习。
②用类比法寻求解题思路
例如，已知α，β，γ为锐角，且cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，
求证tanα·tanβ·tany≥2
。
数学解题思路的探求，往往与解题者个人原有知识经验中的类似形式与结构、类似方法或模式有着千丝万缕的联系，这些联系常常与类比推理密切相关。由已知的三个角α，β，γ的余弦的平方和为1，可将它们类比成长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1，与从A点出发的相邻三条棱的交角，这时关系式cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1仍然成立。于是，可以利用长方体的三边长a，b，c来表示三个角的正切，最后再利用基本不等式就可得到如下证明：
③用类比法推广数学命题
例如，在直角三角形ABC中有勾股定理：c2＝a2＋b2，其中a，b为直角边，c为斜边。类比到空间：在四面体中有三个面两两垂直，这三个面的面积分别为A，B，C，如果将第四个面的面积记作D。于是可猜测有类似于勾股定理的形式：D2＝A2＋B2＋C2。可以证明，这个结论是正确的。
（2）一题多解，培养发散思维能力
发散思维就是对熟悉的事物，能够采用新的方法或从新的角度加以研究，从而在相同或相似之中看出不同的思维形式。数学中的一题多解、一题多变虽是传统方法，但确是培养学生发散思维的一种好方法。
例如，已知菱形的边长等于两条对角线长的比例中项，求菱形的锐角。此题可以用余弦定理求解，也可从菱形的面积考虑，还可用解析法求解等（解法略）。
在数学教学中，采用“一题多解”的教法，并且引导学生评价各种不同解法的特点及其优劣，不但能提高学生的学习兴趣，而且对于提高解题能力，优化解题思路，增强发散思维能力都有很大好处。
（3）鼓励质疑提问，培养思维的批判性
思维的批判性是创造性思维的一个重要特征，传统的数学教学照本宣科多，注入式讲授多，批判质疑少，讨论研究少，这就必然会影响学生思维能力的发展，抑制创造能力的培养。
根据有关研究，在目前的数学课堂教学中，边讲边问正在取代灌输式讲授，高密度提问已成为课堂教学的重要方式。教师提问中记忆性问题居多，占74．3%；推理性问题次之，占21．0%；强调知识覆盖面，但极少有创造性、批判性问题，学生回答问题方式单一，齐答比例高达41．9%。教师提问后基本上没有停顿，不利于学生独立思考。课堂内主要采用老师主导取向的教学方式，占61．0%，学生自主取向的教学方式用得极少，仅占4．3%，不利于学生独立思考，未留时间与机会让学生发表自己的意见和看法。
昔日的满堂灌变成了如今的“满堂问”，未必是真正的进步。关键还得看问什么，怎么问，谁来问，是否充分发挥了学生的主体作用，让全体学生都处于积极的思维状态。对于长期在这种缺少提问、质疑机会的课堂教学环境中培育出来的学生，思维的创造性肯定会受到压抑。学生的提问、质疑既可以锻炼其思维能力，而且在提问、质疑的基础上让学生探讨问题的答案，还可以培养其主动学习、主动探索的精神，这对于创造能力的培养是非常有利的。
有位数学老师每星期开设一堂学生提问课，由教师回答诸多学生提出的问题，有些较难的问题教师当场回答不了，就回去准备以后再作答。经过一段时间实践，学生逐步养成了质疑提问的好习惯，数学学习成绩大有提高，而且在自学能力和创造能力方面也有了明显的进步。古人云，“学贵有疑”，疑就是一种批判精神，看来很有道理。
（4）重视直觉思维能力培养
直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维和逻辑思维一样，都是人类思维的基本方式。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维。直觉思维能力可以通过多方联想，学会从整体考察问题．注意挖掘问题的内部的本质联系，借助对称、和谐等数学美感，养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。
图4－1
例如，如图4—1，有一个边长为3的立方体，它由27个边长为1的小立方体组成，其中19个看得见，8个看不见。问在边长为n的立方体中，看不见的边长为1的小立方体有多少个？看得见的小立方体有多少个？
这道题可以有好几种解法，但是都比较繁，一个直觉思维强的人可能会发现：从大立方体的顶面、前面、侧面各剥去一层小立方体，剩下部分恰好就是看不见的立方体。于是边长为n的立方体，看不见的小立方体有（n－1）3个，看得见的小立方体有n3－（n－1）3＝3n2－3n＋1个，十分简便。
（5）引人数学开放题
数学开放题是在20世纪70年代开始出现的一种新题型，开放题是相对于传统的封闭题而言，其主要特征是答案不唯一或答案的可能情况不唯一。若从心理学的视角加以分析，一道数学题究竟是开放题还是封闭题，取决于该题对解题主体激发的思维之性质。如果激发的思维是收敛性的，就是封闭题，因为解题者是在复制别人设定的解法，遵循逻辑规则去寻求一个正确的答案，他的思维缺少创新性。相反，如果激发的思维是发散性的，就是开放题，因为解题者会同时想到多个可能的解决方向，而不限于唯一答案或进行钻牛角尖式的探求，他在某些方面需要创造出新的思想和新的方法才能解决问题。因此，思维的发散性是数学开放题的思维特征。数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔空间，为培养解题者的创造能力提供了良好的载体，因此受到全世界数学教育界的高度重视。国际数学教育委员会（ICMI）的一个文件指出：培养学生对数学的积极态度是中小学数学教学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段。然而实际上任何学校这种欢乐都是很有限的。也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感。
数学命题根据思维形式一般可分成假设、推理、判断三个要素。一个数学开放题，可视其未知要素作如下分类：①若未知要素是假设，则为条件开放题；②若未知要素是推理，则为策略开放题；③若未知要素为判断，则为结论开放题；④若问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求解题者根据给出的情境自己寻求与设定，则可称为综合开放题。开放题也可按其他标准进行分类。
实施开放题教学具有以下一些功能：
①能激发学生的好奇心和求知欲；
②有助于学生形成积极探索的态度和思考问题的策略；
③能营造一种学生广泛参与、提出质疑、探讨问题的学习氛围：
④能鼓励学生开展相互讨论，学会数学交流；
⑤这种教学方式既能面向全体学生，又能有效地提高学生的思维品质和创造性意识；
⑥教师难以用注入式进行教学，在解题过程中教师扮演的角色是示范者、启发者、鼓励者和指导者，不再是讲授解答的权威。
⑦对教师的业务素质提出了更高的要求，应在备课、教学和命题时充分考虑到各种可能的情况，稍有不慎，便会出错。
（6）指导学生写数学小论文
课堂教学因受到时间、空间、教材等限制，不可能解决所有的问题，为了更好地培养学生的创造性思维能力，尤其是让部分学有余力的学生得到进一步发展，还应将视野延伸到课余时间，指导学生写小论文就是一个好办法。学生在开展课题研究时，必须自学有关的书籍，广泛地收集与课题有关的信息和数据，并对这些信息和数据进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的提炼和概括，从各种不同的角度对同一问题进行深入的思考和探讨，最后才能形成文字写成论文。在课题研究过程中，学生的主体性和积极性得到了最充分的发挥，学到的东西要远比课堂学习多得多。
千万不要低估中学生的能力，我们曾指导中学生开展关于数学模型方法、数学美、数学解题的基本思路等课题研究，写出的小论文都是有相当质量的。在学生的课题研究中，教师应在课题选择、参考书阅读、研究方法和论文写作上多作指导。
此外，指导学生创办数学小报（报纸或墙报），由学生自己组稿、编辑、定期出版，组织数学兴趣小组活动，发布思考题征求解答等，也都有助于锻炼学生的创造性思维。
（7）多一点耐心和宽容
数学课上经常可以看到这样的情景，当学生甲的回答不正确或者不符合老师的思路时，老师马上让举手的学生乙重新回答，或者干脆自己直接说出答案。这样的处理不但会挫伤学生甲的学习积极性，更严重的是会形成一种比较紧张的课堂气氛，尤其是那些基础比较差的学生，课堂上总是惴惴不安，总是担心被老师提问，当众出丑。
科学探索是一种不断试错的过程，只能通过不断的“尝试”、“排错”和“反驳”、“否证”，才能向真理逼近。数学学习是一种学生进行再探索、再创造的过程，也是不断试错的过程。不能容忍错误，也就堵塞了通往真理之路。不少学者都谈到，美国教育的成功之处的一个重要方面，就是允许学生学习上的失败。我们的教育中常常缺少对学生学习上失败的宽容。所谓宽容就是容许别人有行动和判断的自由，能够容忍不同于自己或传统的观点和见解。教学中要善于发现学生错误中的合理成分，并加以肯定，鼓励学生大胆尝试，在试错中不断进步。
不宽容学生学习上的失败，就等于堵塞了学生探索性学习的道路，使学生只能循规蹈矩地按照传统的学习模式被动地接受知识。相反，宽容学生学习上的失败，让他们有作出新的选择的机会和勇气，才能为学生打开探索性学习的大门，不断提高他们的创新能力。
培养创造性思维的经验不限以上各点，例如数学问题解决就是行之有效的途径，在此不再赘述。