第一节 数学的对象和特点
一、数学的对象
数学的发展已经过几千年的历程。人们在学数学、用数学和研究数学的过程中，也许每个人对数学都有自己的理解，然而要准确地回答数学是什么、数学研究什么并得到公认，似乎还没有人真正做到这一点。
人们对数学的认识是随着时代的发展而发展的。古希腊的亚里士多德把数量区分为离散的量和连续的量两种。并说“数是一种离散的数量”，“线是一种连续的数量”。在作了这种区分之后，他指出：研究数及其属性（例如奇偶性、对称性以及比例关系等）的学问叫做算术，研究量及其属性（例如对称、相交、平行等）的学科叫做几何学。因为这两门学科的对象具有某些共同的性质，所以归结为一门学科：数学。因此，数学是研究数量的科学。这是一个天才的定义，一直到19世纪末仍被多数哲学家、数学家所接受。
数学史表明，在19世纪以前，古典数学的主要成就是算术、几何学、代数学、微积分。这些数学学科所研究的都是客观事物的空间形式和数量关系。对此，恩格斯曾经概括为：“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。”他还说，数学是一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学。把数学的研究对象看作一种思想的事物，抓住了数学的性质和特点。数学的对象已是经过人的思维加工的思想实体，一种人对自然界的概括和认识，然而它们具有客观性。恩格斯的这些论述即划清了数学同自然科学的界限，坚持了唯物主义的观点，又优于亚里士多德的定义，因而受到数学家普遍的赞成，至今仍被经常采用。
19世纪以来，数学的基本部分——分析学、几何、代数均发生质的变化，它的研究对象已经越出了对数量关系和空间形式最初意义的理解。数学不仅要研究考察现实世界时所产生的概念，而且要研究“思维对象”，比如，在无限维空间中的球和螺线。数学在逻辑上研究可能的纯粹形式和关系。在这种情况下，数学的对象到底是什么，再度引起人们的思考。例如，布尔巴基学派就认为数学是研究抽象结构的科学。他们用结构的观点看待数学，认为最普遍、最基本的数学结构有代数结构、顺序结构、拓扑结构，这是三个母结构，此外还有许多各式各样的子结构，由母结构和某些子结构一起，形成某个数学分支的结构。前苏联著名数学家亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》一书中指出：“数学以纯粹形态的关系和形式作为自己的对象。”我国数学家丁石孙认为：“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数学关系和结构关系。”还有不少数学家认为，只要扩充对有关数量关系和空间形式的理解，恩格斯的数学对象观仍然适用于现代数学。目前，《全日制普通高级中学数学教学大纲》（试验修订版）在谈到数学的对象时，就是把恩格斯定义中的“现实世界”去掉了，即“数学是研究空间形式和数量关系的科学”。看来这些观点从各个不同的侧面，对数学的对象作了较好的概括，它们在本质上是不矛盾的。
既然人们尚未找到有关数学的更加确切、更为大众所接受的说法，我们在这里暂时使用目前《全日制普通高级中学数学教学大纲》（试验修订版）的说法：数学是研究空间形式和数量关系的科学。
二、数学的特点
谈到数学的特点，数学哲学家、数学家多有表述，一般仍引用《数学——它的内容、方法和意义》中的提法，把数学的特点归结为：高度的抽象性；严谨的逻辑性；应用的广泛性。
1．高度的抽象性
数学与自然科学相比较，具有更高抽象的程度。任何科学都具有抽象性，“数学以及其他科学都是把物体现象生活的一个方面抽象化”。物理学只保留物理属性而舍弃其他；数学的抽象，则只保留量的关系而舍弃一切质的特点，只保留一定的形式、关系、结构，这种形式、关系和结构已是一种形式化的思想材料，或者是一种抽象结构。例如，世界上本来并没有“二次方程”．它是人们从现实世界数量关系中抽象出来的思想材料。没有抽象，就不会有自然数、方程式和函数，也就没有数学的研究对象。
数学的抽象是逐步发展的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从直接概括现实对象属性的抽象，到拓扑空间、一般代数系统、算法等等高水平的抽象都是由简单到复杂，从具体到抽象这样不断深化的过程，也就是说，数学的抽象不仅表现在广度上，而且表现在不同层次的深度上。正因为数学的高度抽象性，使数学具有广容性，这是数学所独有的。我们常发现一个数学模型，可以用于形形色色的具体现实领域。所以我们可以这样说，数学的抽象，正是数学的威力。
2．严谨的逻辑性
数学要求逻辑上无懈可击，结论要精确，一般称之为数学具有严谨的逻辑性。虽然在探索数学真理的过程中合情推理起着重要作用，然而从确认真理的方式上看，数学中使用逻辑的方法．至少基本情形是如此。数学的结论是否正确，一般不能像物理等学科那样，借助于可重复的实验来检验，而主要靠严格的逻辑推理来证明，而且一旦由推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。数学的高度抽象性质预先规定了数学只能用从概念本身出发的推理来证明，数学的概念原则上是逻辑地可以自足的。一个数学概念，没有逻辑上自足的刻画，就不能进一步进行研究。在数学定理的证明中，据以证明的前提，在逻辑上是清楚的，至少原则上如此；定理证明的步骤在逻辑上是完全的，是严格无误的。正是数学概念的这种确定性以及逻辑本身的普遍意义，使数学的结论具有逻辑的必然性，也就是结论的精确性。从而数学常被称为“神机妙算”，使数学具有高度的预见性。
当然，逻辑的严谨性不是绝对的。例如，微积分刚建立时，逻辑上是很不严密的，然而其结论是正确的，获得了惊人的有效应用；直到后来，经过数学家很长时间的努力，才给微积分建立了比较严谨的理论基础。类似微积分这样的事例在数学中还有很多，但这种逻辑上的不严密只能是暂时的，随着人们认识能力的提高而逐步加强。
3．广泛的应用性
数学的高度抽象性和逻辑的严谨性带来了数学应用的广泛性。正如华罗庚教授所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”数学在日常生活及生产技术中的应用已毋庸置疑，科学技术的发展也离不开数学。1994年，王梓坤院士为中国科学院数学物理部作了题为《今日数学及其应用》的报告，对于20世纪60年代之后数学的应用作了重要补充。并列举了数学在现代科学技术中被广泛应用的有趣故事。例如，在90年代初的海湾战争中，数学计算在战争决策中起了重要的作用。事实证明，有些重要问题的解决，数学方法是唯一的，也就是说，除数学外，用任何其他方法、仪器、手段都会一筹莫展。一切科学研究在原则上都可以用数学方法来解决有关问题，随着数学的发展，可应用数学的领域会更加宽广。按照马克思的思想，一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。
数学的对象和特点已经使我们看到，数学是一切科学研究的工具，再像17世纪那样把数学归类为自然科学已经显然不适宜了。尽管数学在科学分类中的地位如何尚在探讨之中，但数学不是自然科学的认识却是明确的。我们至少可以这样说：数学是内容具体、形式抽象、理论严谨、应用广泛、方法精巧、地位特殊的一门基础科学。并且，当今数学科学的发展出现了下列新的趋势。
（1）数学内部各分支间的相互渗透以及数学与其他科学的交叉融会。连续与离散、有限与无限、纯粹与应用、结构与算法、随机与确定等等，相互之间均有着千丝万缕的联系。从数学应用的传统领域——物理学到生物学、经济学等等这些新兴的数学应用的大“客户”，数学几乎成了自然科学、技术科学、社会科学与管理科学的共同智力资源。
（2）计算机这一新颖工具的出现及其发展改变了人们对数学的看法，数学成了形式科学与实验科学两种不同知识类型的结合，在思维形式与研究方法各方面都需在差异中寻求平衡。计算机的发展为数学开辟了新的研究领域，不仅使古老的数学领域获得复苏，也开辟了关于算法理论以及可行性等更为新颖有趣的数学问题的源泉。计算机的发展为数学研究提供了新工具，形成了数学活动的新形式。
（3）数学的应用领域日趋广泛。与计算机及其他科学密切相关的数学不是象牙塔里的严密体系，也不是纯而又纯的抽象理念，人类活动的各个领域将无处不有数学的贡献。