第十一节　变式教学法

变式是指相对某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程。因此，变式教学有利于培养学生研究、探究问题的能力，是“三基”教学、思维训练和能力培养的重要途径。

运用变式教学法进行教学，除应遵循一般的教学原则外，还必须贯彻以下几条重要原则：

1.目标导向原则。

数学教学是师生围绕既定目标而进行的双向活动。因此，教师首先要根据教学内容和学生实际制定出具体明确、切实可行的教学目标，然后，在课堂教学过程中采用变式教学模式，学生在教师启发、引导下完成既定的教学目标。

2.启迪思维原则。

数学教学是思维活动的教学。学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱、精心启发。运用变式教学模式教学，教师必须精心设计问题情境，“把问题作为教学的出发点”，“让问题处于学生思维水平的最近发展区”。引导学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。通过创设思维情境，设置思维障碍，舔设思维阶梯等手段激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲。

3.暴露过程原则。

数学教学是教学思维活动过程的教学。让学生看到思维过程，主动参与知识的发现，是提高学生学习积极性和发展其数学能力的有效措施。运用变式教学法教学，讲解概念要求构建情境，提供素材，揭示概念的形成过程，讲解定理（公式）要求模拟定理（公式）的发现过程，例题、习题的教学要求探索变式，对解题思路进行内化、深化，总结升华。也就是说，应注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些“过程”中展开思维，从而发展他们的能力。

4.主体参与原则。

运用变式教学法教学，特别强调学生的主体地位与主动参与，注重让学生自己动脑、动口、动手，让他们主动地获取知识，在实践中去观察、探索、发现问题和解决问题。而教师一方面应努力创设启发引导的问题情境，营造民主、宽松、和谐的教学氛围，形成相互尊重、信任、理解、合作的人际关系，培养学生主动参与的意识；另一方面应运用灵活新颖的教学方法来激发学生的主动性、创造性和求知欲，使学习成为真正意义上的学生个体的内在需要和追求，成为学习主体表现自我的自由方式。

5.探索创新原则。

在应用变式教学法的教学过程中，教师要善于运用设疑、启发、鼓励、指导、评价、总结的策略，教学生学会学习，使学生乐学、善学。对教师的具体要求是：（1）运用变式教学，发掘教材教法新意，激发学生学习的动机和兴趣。（2）营造民主、安全、幽默、开放、温暖、相互支持的创新学习氛围。（3）精心设计创造性的问题。（4）对于已具备基本探索意识和能力的学生，鼓励其自主创新。

6.因课而异原则。

数学教学模式受到教学内容、教学目标和教学思想的制约。任何一种教学模式都不是万能的，它只能适合某一类课型，不同的课型完成不同的教学任务，而教学任务的多样性，决定了教学模式的多样化。

“变式教学”的基本内容包括知识形成过程中的问题设计。基本概念辨析型变式；定理、公式的深化变式、多证变式和变式应用；例题、习题的一题多解、一法多用、一题多变、多题归一；教法、学法的切换等。

例1　弦切角概念的辨析变式设计。

在图22中，若AB为⊙O切线，则∠CAB是⊙O的弦切角的是。

图22

例2　直线垂直于平面的判定定理的形成变式。

如图23所示，四边形ABCD中，删：BA－BC，DA＝DC，AC与肋相交于O，问AC与肋的位置关系怎样？

图23

变式1：如图23把图（1）中四边形ABCD沿AC折成空间四边形，猜想AC与平面BOD有怎样的位置关系？将变式1变成数学命题，得变式2：如图24若AC∩BO∩DO＝O，BO、DO∈α，AC⊥BO，AC⊥DO，则AC⊥α。有了前面的铺垫，在教师的引导下容易得到变式2的证明，证明完成后，讨论问题：变式2中是否必须有AC∩BO＝O，AC∩DO＝O？是否一定要BO∩DO＝O？引导学生讨论得出变式3，即，

图24

定理：若m∩α，n∩α，m∩n＝B，l⊥m，

例3两角和的正切公式的变式。公式：tan（α＋β）＝以－β代β，得：

变式1：利用特殊化的思想可得：

变式2：

变式3：

变式4：tan（π＋β）＝tanβ（诱导公式）

tan（π－β）＝－tanβ从而推广引申的角度对公式进行变式，可得变式5：

在变式5中：含α＋β＋γ＝kπ（K∈z）又得变式6：α＋β＋γ＝kπ（K∈h）

tanαtanβ＋tanγ＝tanαtanβtanr从数学美的角度对公式进行变式，可得：

变式7：tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）

变式8：

变式9：