第五节　数学抽象方法

人类是通过抽象获得对自然界的本质认识的。通过抽象，我们在思想上把个别的东西以个别性提高到特殊性，再从特殊性提高到普遍性，从而能够真正地、深刻地理解和把握现实世界。数学科学是对客观世界的空间形式和数量关系抽象的产物，数学的一切理主化都是抽象思维活动的结果，高度抽象、逐级抽象是数学科学的基本特征。因此，方法是数学活动的一般方法。

所谓抽象，是指在认识过程中，透过事物的现象，深入事物的里层，把事物的本质制取出来的一种方法。通过数学抽象，可以培养学生的抽象意识，从而使学生在数学解题时有意识地区分主要和次要因素、本质和非本质因素，抓往事物的本质，自觉地把某些问题转化为数学问题，抽象概括为数学模型的习惯。抽象意识是数学学高度的抽象性的反映。

数学抽象方法在数学中的具体运用，也是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。

著名数学家欧拉在解决歌尼斯堡七桥问题时，撇开岛区、陆地的其他属性，仅仅制取它们都是桥梁的联结点，将其抽象成四个点。同样，把七座桥抽象成七条线，线的长短、曲直在这里无关紧要，要紧的是点线之间的相互联结。于是，一次无重复地走过这一成功研究采用的就是数学抽象的方法。数学抽象是一种特殊的抽象，具体表现在它的内容、程度和方法上。

1.内容上的特殊性。

数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切。正如恩格斯指出：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。”这清楚地表明了数学抽象的特殊内容：数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的意向只是数量关系和空间形式。这种特殊的抽象内容决定了数学与其他自然科学的区别，也决定了数学抽象的特殊性；数学抽象具有量化特征和形式化特征。

2.数学抽象的特殊高度。

和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。

首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。例如，正比例函数是物理学中匀速直线运动和简谐运动的再抽象。

其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。在数学中，有些概念建立在对真实事物的直接抽象之上，从而具有较为明显的直观意义。但数学中还有许多概念则建立在较为接的抽象之上，即建立在已有概念的抽象分析之上，从而使数学抽象具有层次性。例如，在平面几何中，我们利用两点间的距离去定义点到直线间的距离，再定义互相平行的两直线的距离，进而去定义立体几何中的诸距离概念。

更为重要的是，数学抽象的特殊高度表现在数学中一些概念与真实世界的距离是如此遥远以致常常被看成“思维的自由想象物和创造物”，这即为数学中所谓的“理想元素”（如无穷远点等）。

3.数学抽象的特殊方法

在数学研究中，无论涉及的对象是否具有明显的直观意义，都只能依靠相应的定义云演绎推理，而不能求助于直观。因此，从这个意义上讲，数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的。我们可以把抽象分为：理想化抽象、强抽象与弱抽象、等价抽象、存在抽象等几类。

（1）理想化抽象。

所谓理想化抽象，是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非就是客观事物本身存在的东西，而是在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，向何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念，在自然界是不存在的，是人们利用理想化抽象出来的概念。

（2）强抽象与弱抽象。

所谓强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念物例的新概念的方法，即通过扩大原概念的内涵建立新概念的抽象方法。

例如，从四边形概念出发，从两组对边给予适当限制，则得平行四边形和梯形的概念；若平行四边形概念出发，再对边或角分别适当限制，得到矩形、菱形及正方形的概念。

所谓弱抽象是指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念为广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。

例如，从全等三角形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形与等积形的概念，它们分别保留了“形状相同”及“面积相等”的特性。

（3）等价抽象。

在思维中同类研究对象（具体的或抽象的个体）中抽取出来而舍弃其他非其同的属性，这样的抽象就是等价的抽象。

例：自然数的概念就是用等置抽象的思想建立起来的。每个自然数实际上都是一类等价集合的标记，它反映这类集合中元素的数目，是该类集合的类的特征。

例如，两个三角形，若它们的对应角相等，对应边成比例，那么这样的两个三角形具有相同的形象。把三角形的这种对应关系以及形象相同的特点抽象出来，就得到相似三角形的概念。

一般地，等价抽象具有3个重要的特性：（1）自反性。（2）对称性。（3）传递性。（4）存在性抽象。

这是指在研究数学问题时，有时抽象出来的数学概念，起初往往被认为是不存在的，这时可先用假设的方法抽象出来的数学概念存在性，并由此发展出一定的理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的事理性。