第四节　分类讨论法

在中学数学中，分类讨论思想是极为常见的。众所周知，用代数语言表述事物具有一般性。例如，用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，还可以是负数。当含有字母的式子用来表示几何关系时，就可能出现不同的情况。因此，分类讨论是不可避免的。

一般说来，中学数学中涉及的所有数学对象往往可归结为集合，因此，在我们研究和讨论问题时常常将所涉及的对象的集合根据具体的情况进行分类。将一个非空集合进行分类所遵循的基本原则就是所分成的若干个非空子集的任意两个的交集是空集，而所有子集的并为原集合。因为在中学数学中，从概念到概念之间的关系都与集合有直接关系，所以当所讨论的问题有多种可能的情况又难以对它们进行统一处理时，往往按一定的标准将讨论的对象进行分类，分别处理，再将所得的结果综合，得到问题的最后解答。

当面临较复杂的对象时，人们往往会考虑将对象按某种特征分成几个部分，逐一加以研究，再综合之，以达到认识对象整体的目的。这种分类在科学研究中是广为适用的。例如，生物学家通过直觉归纳、解剖等手段，运用分类方法编排出动植物的谱系；化学家在分类的基础上，根据元素的周期现象，预言新元素的存在及其性质。

分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的逻辑方法。分类也叫划分。分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异点将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统。

分类的目的在于使知识组成条理化，进而系统化。分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据。母项是被划分的种概念，子项是划分后所得的类概念，划分的根据就是借以划分的标准。

分类必须有一定的标准，即必须根据对象本身的某种属性或关系来进行划分。由于客观事物有多方面的属性，事物之间有多方面的联系，因此，分类的标准也是多方面的，可根据不同的需要采用不同的分类标准，对事物进行不同的分类。但每一次分类都应按照同一标准进行，所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度。

任何分类必须遵循以下原则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象。

1.分类应按同一个标准。

在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则还不如说是方法。它有两层意思：一是判别概念（属）应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念（属）要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清。

2.分类应是完备的。

分类所得的各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等。从量方面要求一个也不能丢掉。从集合观点看，被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误。

3.分类应是纯粹的。

分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系。从集合的角度看，被分成的任何两类之间的不相交，即无共同元素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准或关系的不能属于同一类，即各属概念外延之交集为空集。如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了第二个原则，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病。

所谓分类是指根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法。分类也叫划分。分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统。

分类的目的在于使知识组成条理化、系统化。而分类的标准是母项、子项和根据。母项是被划分的种概念，子项是划分后得的类概念，划分的根据就是借以划分的标准。

分类的原则：（1）合理性原则，也即分类应当做到不重复也不遗漏；（2）同一性原则，即每次划分的根据必须同一，即每一次划分时，标准只能一个，不能交叉地使用几个不同的划分标准。通常说成分类时用同一把尺子。

分类讨论的常规方法：

（1）依据数学概念的定义进行分类。如绝对值、直线与平面所成的角等。

（2）依据数学公式、原则、法则的适用范围进行。如等比数列求和公式。

（3）依据数形结合进行分类。如集合的交、并、补用数轴讨论。

（4）依据位置关系进行分类。如几何中点与点，点与线，面与面等位置关系。

（5）依据数学性质进行分类。如偶次算术根的性质，二次函数、幂函数等性质。

（6）依据参数的变化范围进行分类。

（7）依据整数的奇偶性进行分类。

用分类讨论思想解题的一般步骤：

（1）确定分类讨论的对象。

（2）进行合理的分类讨论。

（3）逐步逐级分类讨论。

（4）综合、归纳结论。

在中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况主要有：

（1）给概念下定义和对概念进行归纳总结。

关于绝对值的概念，可以有这样一种定义方式：

高中的解析几何中，我们主要研究了三种不同类型的二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线），给出了它们的标准型方程，但是如果我们从一般的二次曲线方程出发，通过按一定的标准分类讨论，就可以对三种二次曲线之间的联系和区别有进一步的认识，起到对概念进行归纳总结的作用。设一般二次曲线的方程为Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，可以根据判别式△＝B²－4AC的值，直接判定它属于哪一个类型，分类列为表。

（2）定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式。

在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的（如图18）。

图18

同样，在中学数学的解题教学中，无论是计算题、作图题还是论证题等，运用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证，从而获得合理的解题思路和方法。

（3）对已有结论进行推广。

此外，我们还可以在已有结论所讨论的范围基础上，对尚未讨论的情况进行探究，从而达到对结论的扩展和推广。如，在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论。

再如，若我们已经推导出了圆台（或棱台）中截面的面积公式，那么，我们可以进一步推导其他位置的截面的面积公式。

运用分类讨论思想可以解决许多数学问题。

（1）排列组合问题。

例1　所有三位数中有且仅有两个数字相同的共有多少个？

思考与分析：符合条件的三位数可以分成如下10类。

有两个0的：100，200，…，900，共有

有两个1的：在除1以外的9个数中任选1个，在1，1之间的位置关系有3个，但应除去011这种情况，共有9×3—1＝26

同理，有两个2，两个3，…，两个9的三位数各有26个

所以，26×9＋9＝243（个）

（2）运用抽屉原理的有关问题。

关键是构造抽屉，而构造抽屉的实质就是根据题目结论的要求，选择恰当的分类标准，对已知条件中的所有元素进行分类。

例2　在1到100的自然数集合中，任取51个数，其中必有两个数，它们中的一个是另一个的倍数。

思考与分析：构造抽屉：设P为1到100之间的奇数，按P×2ⁿ（n＝0，1，……）的形式可以将1到100的所有自然数分成符合要求的50类：

A₁＝｛1，1×2，1×2²，A，1×2⁶）

A₂＝｛3，3×2，3×2²，A，3×2⁵）

A₂₅＝｛49，49×2｝由于从50类中任取51个数，至少有两个数

在同一类中。

A₂₆＝｛51｝

A₅₀＝｛99｝

（3）含参数问题的讨论。

例3　讨论方程（k²＋k－2）x²＋k²y²＝9的曲线的形式。

思考与分析：先划分k²＋k－2＝0，k²＝0的根为－2，0，1

（1）当k＜－2时，k²＋k－2＞0和k²＞0，

∴曲线是椭圆。由于这是k²＋k－2＜k²，

∴它的焦点在y轴上。

（2）当k＝－2时，方程化为，这是与x轴平行的两条直线。

（3）当－2＜k＜0时，k²＋k－2＜0，k²＞0

∴曲线是双曲线，它的焦点在y轴上。

（4）当k＝0时，不存在图形。

（5）当0＜k＜1时，

k²＋k－2＜0，k²＞0

曲线是双曲线，焦点在y轴上。

（6）当k＝1时，方程化为y＝±3，为平行于x轴的两条直线。

（7）当k＞1，k²＋k－2＞0，k²＞0，其中当1＜k＜2时，曲线是焦点在y轴上的椭圆。当k＝2时，曲线变成，当k＞2时，曲线是焦点在x轴上的椭圆。