第三节　数学模型方法

任何一项数学应用，首先都是数学模型方法的应用。数学模型就是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模拟而形成的一种数学结构。

数学模型方法是人们解决各种问题时常用的一种方法，它是把所考察的实际问题转化为数学问题，建立数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。在利用数学模型方法解决问题的过程中，关键性的工作就是建立数学模型，建立模型也是具有创造性的工作，如欧拉解决七桥问题时就是他创造性地建立了数学模型，知识闪耀着指挥才华的地方，跟别人是学不到的，需要积累很多处理问题的经验才能获得。中学生进行研究性学习，绝大多数的问题来自于学习、生活的实际，需用到数学模型的方法。因此，提高数学建模的能力，是自主开展研究的前提。

建立数学模型的基本手段是数学抽象方法。一般过程是分析实际问题，抓住主要矛盾关系，经过必要的简化与假设，进行数学的抽象。这个过程是需要多方面的能力参与，如理解实际问题的能力、数学抽象能力、运用数学工具的能力以及通过实践加以检验的能力等等。

数学结构有两个方面的具体要求：（1）数学结构必须是一种纯关系结构，也就是经过数学抽象舍弃与关系无本质联系的一切属性。（2）必须借助于数学概念和数学符号来描述的结构形式。

在哥尼斯堡七桥问题中，一笔画问题就是七桥问题的数学模型。

例1哥尼斯堡七桥问题。

在17世纪的东普鲁士小城镇哥尼斯有一条小河流经市中心，河中有小岛A和D，河上有七桥连接着这两个小岛及河两岸B与C（见图15），居民经常沿河过桥散步，于是有人提出这样的问题：一个人能否每一座桥恰好通过一次（无重复无遗漏），回到出发点。

图15

这个看似简单的问题，众市民反复试验均未成功，于是有人写信给当时在彼德堡科学院的数学教授欧拉，请他帮助解决。

欧拉并没有亲自去桥上走试，而是运用他的智慧，敏锐的洞察力帮他看到：该问题与所走过的路程长度无关，而岛屿、陆地只是靠桥梁来连接着的地点，从而他将问题数学化、抽象化处理：将两个岛和河两岸抽象成四个点A、B、C、D，将七座桥抽象为七条线，于是问题等价地转化为能否一笔画出上页右图所示的图形。而他的答案是否定的，因此图16不能一笔画出等价的七桥问题的答案，也就是不存在这样一条路线。欧拉对一笔画的结构特征作了深入的分析，还得到了连通图能够一笔画的充要条件。1736年欧拉发表文章阐述了自己的研究成果，并且该问题的解决对图论及拓扑学的诞生具有奠定性的作用。

图16

通过例题，我们可以体会到应用数学模型方法解决具体问题的一般程序是：

这也是数学中应用抽象分析法（此处也即是数学模型方法）解决实际问题的典型例子。

我们认为数学模型有广义、狭义两种解释。

从广义上讲，一切数学概念数学理论体系，各种数学公式、方程式、函数关系以及由公式系列构成的算法系统等等都可称为数学模型。

狭义：只有反映特定问题或特定的具体事物的数学关系结构才叫数学模型。即只有像从哥尼斯堡七桥问题中抽象得到的一笔画才叫做数学模型。

狭义的数学模型又称为数学建模。

将考察的实际问题化为数学问题构造出相应的数学模型。通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决的方法叫数学模型方法。（mathematics modeling method）简称MM方法。解题步骤：

1.弄清实际问题，包括分析原型的结构，要达到的目的的要求以及掌握所提供的信息等。

2.分析处理资料和信息，对问题作必要的简化，提出合理的假设。

3.根据假设运用适当的数学工具寻求各有关事物之间的联系，构建数学模型。

4.求解数学模型即通过履行数学手续，求解与实际所对应的数学问题。

5.求数学问题的解答返回到实际问题中去，并检验解答的正确性。

下面这个例子中，我们将看到一个令人叹服的创造性的解决问题的过程。

例2上海某饭店各房间的室内温度，由控制室统一调整，一位施工的师傅发现控制室内仪表知识的温度与室内的实际温度有差异，老是调不准。后来查出原因，乃是因为高层房间到控制室的距离很长，三相电的三根线因转弯处折转不同而有长有短，因而造成三根电线的电阻不同，结果仪表上出现了偏差（如图17）。那么，如何来测量这三根电线的电阻呢？任何万用表也不能把一头放在十几层楼房间的a处（如图17）。另一头放在底楼控制室的a处，这该怎么办？

图17

一位学过代数的青年师傅想出了办法。他假设三根电线的电阻分别为x、y，z，这是三个未知量，万用表不能直接测量出这三个量，然而我们可以把a＇b＇连结起来，在a和b处量得电阻l为x＋y，然后将b＇和c＇连结起来，在b和c处测得电阻m为y＋z，同理，连结c＇和a＇，可测得电阻n为z十z。

这样一来就可得到三元一次方程组

于是不难求解x、y、z，仪表就可以调好了。

解决数学问题的过程非常简单，但是最为可贵的地方就在于这位青年师傅运用自己的智慧，创造性地建立了实际问题的数学模型。

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，在日常教学中我们要从多方位、多角度着手培养学生用数学的意识，只是进行基本数学知识的传授和训练基本的技能的简单应用题，是很难达到培养学生创造性解决实际问题的能力的。面对现实环境的多因素干扰，学生能够产生用数学的意识，能进行适当的建模来解决实际问题的能力，需要在教学过程中的刻意培养与训练，也只有这样才能说是掌握了完整的数学知识，让数学应用意识化为信念，伴随学生的学习与生活，成为终生享用的财富。