第一节　化归法

数学问题的形式千变万化，结构错综复杂。特别是一些难度较大的综合题（比如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致。寻求正确有效的解题途径，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是把所需要解决的问题转化为已能解决的问题。也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题。这就是数学思维中重要的特点和方法——化归思想和方法。

如匈牙利著名数学家P.路莎所指出的：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不是对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”

P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归思维的实质。“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”“把水倒掉”——这是多么简洁的回答。

当然，上面的比喻确实有点夸张，但它和前面几个例子相比，也许更能体现数学家的思维特点，与其他应用科学家相比，数学家特别善于使用化归思想和方法。

化归是指将待研究的问题进行转化，通过解决转化后的问题去解决转化前问题的思维方法。在数学中，化归几乎伴随着所有的问题解决，将未知化归为已知，将困难、复杂的问题化归为容易、简单的问题，将整体问题分割为部分问题去研究等等，都是化归思维的具体体现。例如，解二元一次方程组，要通过消元化归为一元一次方程去解决；求凸n边形的内角和要化归为求三角形的内角和；而计算题就是利用法则去化归问题；证明题则是由未知不断地化归到已知命题的转化过程。化归不仅是数学特有的思维方法，而且还具有一般科学方法论的意义和功能，因而培养学生的化归意识和思维，是数学教学中必须高度重视的问题。映射化归是指关系映射反演原则，它是一种特殊的化归，把研究对象的关系（称为原象关系）转化（映射）成另一种对应关系（称为映象关系），再由后一关系求得目标映射，然后通过逆映射反演回去得出所需结果的思维方法。

其思维模式如下：

图7

例如，对数计算是应用映射法来简化问题的典型例子，由于积、商（乘方或开方）的对数分别等于乘数或被除数的对数与乘数或除数的对数的和、差（乘或除），所以通过对数映射（x—lgx）就可以把复杂的计算转化为较简单的计算。

图8

在中学数学中，映射法包括坐标法、参数法、对数法、向量法、换元法、数形转化法以及各种数学变换、数学模型方法等，因此映射法在中学数学中有广泛的应用。

应用化归原则解决问题的一般模式为：

图9

把所要解决的问题经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题＊的求解，把解得的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的思想，我们称之为化归思想。

我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把乘法变为加法，把几何问题化为代数问题，把偏微分方程问题变为常微分方程问题，化无理为有理，化连续为离散，化离散为连续……

就其基本思想而言，容易看出，化归原则与波利亚关于在解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的。波利亚这样写道：“去设计并解出一个合适的辅助问题，从而用它求得一条通向一个表面上看来很难接近的问题的通道，这是最富有特色的一类智力活动。”波利亚并曾对所说的“辅助问题”作了如下的分类：等价问题、较强或较弱的辅助问题及间接的辅助问题（后者是指这样的辅助问题：它们既非等价问题，也非较强或较弱的辅助问题，但是，通过对此的考虑仍然有助于我们解决原来的问题，即获得材料上或方法论方面的帮助）。

与波利亚的这些论述进行比较，可以看出，化归原则的主要特点就在于它具有更强的目的性、方向性和概括性。我们在此就是希望通过由未知到已知、由难到易、由繁到简的化归来达到解决问题的目的，而且，所有有关的解题过程又都可以统一地归结为上述的模式。正是在这样的意义上，化归原则就可看成对波利亚有关思想的进一步发挥或发展。

就化归原则的具体应用而言，其中的关键显然在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化。数学中用以实现化归的方法是很多的，分割法就是经常用到的一种。

唯物辩证法告诉我们：客观事物是发展变化的，不同的事物之间存在着种种联系，各种矛盾无不在一定的条件下互相转化。化归法正是人们对这种联系和转化的一种能动的反映。从哲学的高度看，化归方法着眼于揭示联系、实现转化，在迁移转换中达到问题的解决，因此化归法是转化矛盾的方法，属于哲学思维方法的范畴，它的“运动—转化—解决矛盾”的思想方法具有深刻的辩证性。

因此，掌握化归思想和方法，对于学好数学（特别是在解数学题时）有着十分重要的意义和作用：

很明显，化归思维的特点就是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而使问题得到解决。

化归的基本方法是分割法。在解决数学问题中，为了解决某些复杂的问题，往往采用分割法，把某些比较复杂的数学对象作为整体，按照可能和需要分解成若干更易于求解的部分，在求得各部分解的基础上，通过适当的组合而使得原数学问题得以解决的解题方法。所谓分割法，就是把一个复杂的问题分割成若干个有逻辑联系的、较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。当然，仅有“化整为零”的分解，化归过程未必能完全实现，往往还要通过“积零为整”，将这些小问题的解重新组合起来，才能得到原问题的解。正是分解与组合的相辅相成和有机结合，引起待解决问题关系结构的重新搭配，使我们能在新的关系结构中去寻找化归的途径。

在运用分割法实现化归时，对于待处理的问题，有时把问题本身作为分解对象，此时是将整体分解为局部之和；有时把问题看成某一整体的一部分，此时是将局部分解为整体与另一局部的差；有时把问题的条件进行分解，求得满足各部分条件的对象集合，此时问题的解是那些满足各部分条件的对象集合的交集。

一般地说，利用分割法求解问题的过程可以归结为：

图10

将这里所说的分割法与波利亚所给的几个具体模式（双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式与叠加模式）加以比较，容易看出，双轨迹模式与笛卡儿模式都可以看成分割法的特殊情况；前者是通过对未知量（例如，点）所应满足的条件进行分割实现了所说的化归，即有：

图11

后者则是对未知量本身进行了分割，也即把未知成分看成一个多元的未知量，这样，问题中的条件也就被分割成了各个“部分条件”（条件分块），而我们就可以由部分条件去列出相应的方程，并进而求得所需要的解答，即有：

图12

另外，所谓递归模式是指在应用分割法求解问题时我们不应机械地去实行“分割一组合”的过程，而应充分利用已有的知识，以此为基础去进行新的扩展。例如，所谓的“待定系数法”就可看成这一模式的一个具体应用：在此，我们事实上是把所要求的未知量（方程）分割成了这样两个成分：“方程的类型”与“方程的系数”；而在求解的过程中我们又采取了如下的“递归程序”：我们应首先确定方程的类型。化归的基本原则是熟悉化和模型化、简单化和具体化。

熟悉化就是把我们感到陌生的问题通过变形化归成比较熟悉的问题，从而使我们能够充分利用已有的知识和经验使问题得到解决。

模型化就是把我们感到新颖的问题，通过变形化归到已经建立了有关理论和研究方法的数学模型中去。其实数学中的所有公式、定理和法则都是数学模型，在一定意义上说，数学研究的目的就是发现数学模型，构造数学模型和扩充、发展数学模型。因此，从根本上来说，模型化的过程也就是熟悉化的过程。

简单化就是把比较复杂的问题转化为简单的问题，把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，以便使其中的数量关系和空间形式更加明朗和具体，从而找到问题的突破口。

所谓具体化就是将比较抽象的问题，转化为比较具体或直观的问题来解决。很多数学问题是各种信息的高度浓缩和抽象，如果我们继续沿着“抽象化”的路子走下去，往往走人迷宫。如果我们改变方向，从新的角度、新的观念出发，把问题中的各种概念以及概念之间的关系具体明确，亦即对原来的抽象问题进行具体转化，往往会使问题轻而易举地得到解决。

化归的基本途径是细分。所谓细分，就是在解某些数学问题时，我们在解题过程中将求证或求解的问题分割为若干个承前启后、互相呼应的小问题，或将图形分离成易于分析讨论的若干个互相契合的图形，而后一一证明和求解。正如数学大师笛卡儿所指出的：“把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。”