第六节　反例思想

反例思想是数学中常用的一种数学思想方法。美国数学家B.R.盖尔鲍姆与J.M.H.奥姆斯特德在《分析的反例》一书中指出：“数学由两个大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例。”也就是说，反例反驳思想在数学中的作用是不可忽视的。反例思想所造成的生动印象是难以磨灭的。正如《分析中的反例》的作者所言：“一个数学问题用一个反例解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧”，从中“得到享受和兴奋”。

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。简洁地说，反例就是一种说某命题不成立的例子。从某种意义上来说，所有例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题（有时是非常荒谬的命题）不成立。但是，我们所讨论的反例是建立在数学上已经证实的理论与逻辑基础上的，并且具有一定作用的反例。举反例也是一种证明的方法，它可以证明“某命题不成立”为真。一般地，一个假命题的反例可能有多个，而我们在举反例时只选用其中的一个就可以了。

反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，因此，数学上的反例主要有以下几种类型。

1.基本形式反例。

数学命题有四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。全称肯定判断（所有S都是P）与特称否定判断（有S不是P）可以互为反例，全称否定判断（所有S不是P）与特称肯定判断（有S是P）也可互为反例。

图6

基本形式的反例在数学上有很多，如数学史上著名的费儿马素数的反例。费儿马曾猜想：“对任何非负整数n，形如2²ⁿ＋1的数是素数。”后来由欧拉首先举出反例：当n＝5时，2²⁵＋1＝641×6700417是合数，于是这个猜想被推翻了。

2.关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例。

充分条件的假言判断是断定某种情况是另一种情况的充分条件的假言判断，可表述为pq，即“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者”。所举反例应为“没有前者，却有后者”。这种反例称为关于充分条件假言判断的反例，即要说明前者是后者的充分条件，但不是必要条件。

必要条件的假言判断是断定某种情况是另一种情况的必要条件的假言判断。可表述为p^→q，即“没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”，举反例应为“有了前者，没有后者”。这种反例称为关于必要条件假言判断的反例，即说明前者是后者的必要条件，而非充分条件。例如，级数收敛，则→∞）是级数收敛的必要条件，但不充分。反例：→0（n→∞），但上不收敛。

3.条件变化型反例。

当数学命题的条件改变时，结论不一定正确。为了说明这种情况所举的反例可称为条件变化型反例。条件的改变有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学研究与教学都是有益的。

反例的意义远远地超出了它的具体内容，除了它能帮助人们深入理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成等潜在的深刻涵义。

（1）发现原有的局限性，推动数学向前发展。

举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展。例如，连续函数项级数的和函数，柯西认为还是连续的，后来，人们举出一个反例，从而引出了一致收敛的概念。狄里克雷函数在黎曼意义下不可积，启发了异于黎曼积分的新积分理论的产生，特别在数学发展转折时期，典型的反例起着举足轻重的作用。

（2）澄清数学概念与定理，为数学作出优雅的和艺术性很强的贡献。

数学中的概念与定理复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解。反例则可以使概念更加确切与清晰，使定理的条件、结论之问的充分性、必要性指示得一清二楚。数学中有许多这样的反例。

在讨论周期函数及其最小正周期时，不少人以为周期函数必有最小正周期。其实可以举出反例推翻这种看法。

这个函数以任何有理数T为周期，因为f（x＋T）＝f（x），T为有理数而有理数中无最小正数，所以，f（x）也就不存在最小正周期。

（3）帮助学生学习数学基础知识，提高他们的数学修养与培养科学研究能力。

数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，不能仅凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，谬之千里”。在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还应掌握各类反例，这才能更深刻地掌握数学基础知识，提高其数学修养与培养科学研究能力。

构造反例的方法主要有：

1.特例构造法。

所谓特例构造法就是利用掌握的一些极端情况与典型反例来构造反例。极端情况如方式的分母为0，图形为直角三角形，两直线平行与垂直等，典型反例如处处不连续的狄里克雷函数，在x＝0处连续但不可导的函数

等。牢固地掌握这些特例，必要时进行科学的组合，就可以提出所需要的反例。

2.性质构造法。

性质构造法就是根据反例本身的性质与特征，按一定的数学知识与技能进行构造反例。著名数学家康托儿曾构造出一个连续单调函数，其导数几乎处处为0的例子，即康托儿函数。这种构造的函数看起来人为的因素强，但却符合数学现成的理论与规律。

3.逼近构造法。

逼近构造法是指通过分析与剔除，找到反例所在的范围，然后在这范围内逐次缩小并向目标逼近，最后造出所要求的反例。

4.直观构造法。

直观构造法是指联系问题的几何意义，分析直观图形的特征，从运动变化中寻找需要举的反例。

5.类比构造法。

根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构造出类似的反例，这种方法就是类比构造法。