第一节　符号化思想

数学的世界是一个符号化的世界，数学符号在很大程度上决定了数学发展的进程，符号化思想方法也是数学中最基本、最原始、最重要和最根本的思想方法之一。

“符号交流与传播数学思想的媒介”。一般说来，符号是人们约定用来指称一定对象的标志物，是用以表达和交换思想的工具。

符号的产生源了于人类“给予意义”的行为，即给予某种事物以某种意义，从某种事物中集会出某种意义。最简单的例子是日常生活中的命名行为，即给某事物赋予特别的名称，使这一名称具有特定的含义。

符号是传播意识的一种意愿标志，其核心就是用“某事物代表某事物”。任何符号总依赖于两个“某事物”之间相互依存的关系。人们就把这两项依次称作“符号形式（能指）”和“符号的内容（所指）”。瑞士著名语言学奠基人索基人尔抵称前者为“声音形象”，后者是“声音形象所表达的概念”。还有些学者把定两项称为“表达平面”和“内容平面”。任何一个符号都包括两个方面，即符号形式与符号内容。符号的功能是用符号的形式代表符号的内容，基础是“符号形式”和“符号内容”之间的相互依存关系。对于每一种符号来说，根据约定俗成、表达的含义等因素，相对稳定地表示一定的内容。而对于某成、表达的含义等因素，相对稳定地表示一定的内容。而对于某成、表达的含义等因素，相对稳定地表示一定的内容。而对于某种事物，人们常常习惯于用某种特定的符号形式来表示。例如用“△、⊙、≈、≌、∵、∴”来表示“三角形、圆、约等于、全等于、因为、所以”。对于一个符号来说，缺少这两项里的任何一项，“符号”以及’符号功能“都不能成立。如果只有一定的内容，滑给予一定的表示形式，也谈不上是“符号”或“符号内容”。现在，符号的概念已不再限于人类言语活动的一些标志，它已扩展到人类社会的很多方面。正如著名语言学家皮埃尔·吉罗所说：“我们是生活在符号之间的。”

数学的语方系统是一个符号化系统。现代数学如果没有精确化的符号是难以想的。用符号化表述数学的方法和内容是数学学科的一大特色。正因为数学语言的符号化，不同于一般的语言系统，如汉语、英语、法语、德语、俄语……，数学语言才更有可能成为一个国际化的语言。数学符号，按其性质可分为元素符号、关系符号、运算符号、约定和辅助符号。

数学符号一般具有以下几个方面的特征：

1.物质性。

符号是用来表示或代表另一事物的事物。因此，作为事物表示形式的符号，都上仍一定的意义，在形式上表现为一定的物质运动或存在形式。

2.抽象性。

数学学科本身的基本特点就是抽象性。数学是一种抽象化了的思想材料。例如，世界上根本就没有方程，自然也就不具备物质的意义，方程是人们从现实世界量的关系中抽象出来的思想材料。而化学中的元素符号C、H、O等，则具有客观存在的物质意义，而且它还客观存在于人脑之外的现实中。数学中的符号比一般科学中的符号抽象。

3.精确性。

数学符号不同于日常生活术语中的符号，数学中的结论也不同于实验科学中的结论。实验科学主要是通过重复实验来“验证”，而数学主要是依靠严格的推理来演绎“证明”。如果符号不精确，就很难保证推理能哆正确进行。

4.规范性。

符号与它指代的对象必须具有相对的稳定性，不能任改变符号的意义，或乱用符号来表示。常用的数学符号在国际上一般都有规范的统一的写法，表示同样的含义，以保证数学语言成为一个国际能用的语言，便于国际间的交流。

5.开放性。

数学符号系统是一个开放的系统，随着数学自身的不断发展而不断完善的符号系统。伟大的哲学家、数学家莱布尼茨被称为“符号学之父”，这是因为他在前人的基础上完善了无穷小运算的符号体系。一般说来，前人所创设的数学符号往往在后继的实践中能得以完善，并促进数学的发展。

数学的发展推动了数学符号的发展，同时数学符号的发展又促进了数学的发展，也就是说“数学的一切进步都是对引入符号的反应”。在数学发展史上，有人把17世纪叫做“天才的时期”，把18世纪叫做“发明的时期”。这两个世纪的数学为什么会有较大的发展呢？原因之一就是这两个世纪大量地创造了数学符号。

历史表明，数学符号与数学方法有密切的关系。数学上对一般方法论的关心出现于16－17世纪之间，它正是由于代数符号体系的建立而引起的。数学中的符号化思想方法受到近代数学方法论研究的格外重视。有人甚至认为，没有数学符号，就没有今天的数学。

1.符号对数学发展的影响。

数学符号演化的自身规律表明，数学的符号化必须适应数学体系发展的需要，“一种合适的符号要比一种不合适的符号更能反映真理”。符号的优劣直接影响数学发展速度的快慢。在数学的发过程中，一方面对符号的改革不断发展，另一方面符号的改进又加速了数学学科的发展。欧洲在阿拉伯数码输入之前，使用罗马数码。这种计数法中用“Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ，L，C，D，M”分别表示“1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，50，100，500，1000”。它不是进位制的，因此一个简单的数要写成长长的一串，这种笨拙的记数法在12世纪以盛行于欧洲，有的国家直到16世纪还在使用。那时，“做加减法已相当困难，会乘除法就可以称为专家了”。数学史料中记载了当时算术教科书中的一个乘法实例——235×4的计算过程：235写成CCXXXV。乘以4（Ⅳ），第一步是将CC，XXX，Y分别重复写4遍。

第一行共有8个C，将5个C缩写成D（500），第二行10个X缩写成C（100），第三行缩写成XX（20），于是简写成：

再进一步合作，得到结果DCCCXL即940（XL是40）。

这只是用一位数去乘的情形，如果是多位数乘多位数，其复杂的程度不难想象。加法并不比乘法简单多少，乘法只是重复写若干遍，而加法要逐个数有多少个I，多少个V，多少个X，……，然后再缩写成所求的答案。至于分数运算，德文里有这样的谚语，形容一个人已经人绝境，束手待毙的时候就说他已“掉到分数里去了”。

这种情形严重地阻碍了数学的发展。正因为如此，用印度一阿拉伯数码代替罗马数码是势在必行，而印度一阿拉伯数码的使用就明显地促使数学得到迅速发展。

大陆派的学者在接受了莱布尼茨优越的符号以后，经过伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的进一步工作，很快地获得丰硕的成果，渗透到各个数学分支中去。英国的情况如何呢？苏格兰的克莱格（J.Craig）在1685年采用了莱布尼茨的概念和符号。三十多年后，由于英国人狭隘的民族偏见加上对牛顿的盲目崇拜，改用牛顿的“流数术”，迟迟不肯接受大陆派的成就，因此，其进展相应地落后了。

2.数学符号导致新的数学分支的产生。

数学符号的产生不仅影响了数学发展的进程，同时也导致了新的数学分支的产生。符号化使得数学本身以及以数学为主要工具的科学的面貌发生革命性的变化。

近代，代数学的发展起源于对方程的研究。代数和算术的主要区别在于：在计算过程中引入未知量，根据问题的条件列出方程，然后求出未知量的值。代数学的发展首要的一步就是用符号代表数字，用符号代表文字叙述。韦达第一个比较有意识地、系统地使用数学符号表示数字和算式，并对字母符号进行运算。正是因为这些符号的运用，才使得“代数”能够逐渐成为一门正式的学科而独立出来。