第九节　基于数学开放题的学习法

所谓基于数学开放题的学习，即是指强调从具体的数学开放题出发组织学习和教学，教学过程其实是以一系列的情景、实验或悬念，启发引导学生去动手、动脑，并在数学活动过程中发现、产生新的问题，进一步思索、猜想、反思、寻求方法……它强调把学习设置于复杂的、有意义的、开放式的问题情境中，通过让学习者解答问题，来学习隐含于问题背后的科学知识，使学生在思考、探究问题的过程中，建构灵活的知识基础，发展有效的解决问题的能力，逐步培养学生的创新精神和实践能力，并形成自主学习的能力。显然，在这样学习方法中，“数学开放题”在学习过程中起着举足轻重的作用，它是引导学生进行数学活动的启动器和动力源，是从未知到已知，从静态到动态的转换器，是维系数学活动的纽带。因此我们有必要对数学开放题做一个初步的理解。

数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。由此可知数学开放题是一种特殊的数学问题，它是一类为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题，而数学开放题（开放度）在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式。

数学开放题一般具有以下几个特点：

1.问题给出的条件往往是不完备的。

一个开放题的条件可以不足，有时也可以多余。条件不足时要求学生予以补充，条件多余时要求学生进行选择。

2.问题的答案是不确定的，具有层次性。

开放题解答的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。

3.问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性。

解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思维模式，从多个角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。

4.问题的研究具有探索性和发展性。

对一个开放题的研究与封闭题有很大的不同，这主要体现在对答案的探索性（尽管解封闭题时有时也需要一定的探索，但其探索性大大低于开放题）和问题本身可层层发展为一系列的问题。

5.问题的教学具有参与性和学生主体性。

由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法。学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。

关于数学开放题的分类有多种多样：

1.按命题要素分类。

数学命题一般可根据思维形式分成“假设—推理—判断”三个部分。一个数学开放题，若其未知的要素是假设，则为条件开放题；若其未知的要素是推理，则为策略开放题；若其未知的要素是判断，则为结论开放题；有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题。

2.按答案结构分类。

开放题按照答案结构可以分为：（1）有限穷举型。这类问题的答案是有限的，可以穷举。（2）有限混沌型。这类问题的答案从理论上可以断定的是有限的，但实际上在解题者的知识水平上不可能把所有的答案一一列举出来，也就是说，答案的结构是混沌不清的。（3）无限离散型。这类问题的答案不但是无穷的，而且是离散的。对这类问题的解答，通常采用：一是将其答案作适当的分类，对每类答案列出一种典型的解法；另一种提供一种构造任意一个答案的方法，即提供一个寻找答案的“算法”，按照这种算法可以举出问题的任意一个答案。（4）无限连续型。这类问题的答案不但是无穷的，而且是连续的。

3.按解题目标分类，可以大致分为找规律或关系、量化设计、分类与整理、举例、数学建模、提问题、情境题、评价、一题多解等。

4.按编制方法分类，大致可以分为条件不足的问题、逆的问题、计数问题的弱化、变化与推广等。

基于数学开放题的学习模式：

1.教师在基于数学开放题的学习中的角色作用。

与传统教学、学习方式相比，在基于数学开放题的学习中，不仅仅是知识的传授者，而且是学生发展的促进者、指导者、启发者、学习者、示范者和合作者等。教师所起主导作用具体表现：实际问题的情境，提出问题，引导和组织学生去解决问题，对学生的不同答案作出评价。

2.学生在基于数学开放题的学习中的角色。

在基于数学开放题的学习中，学生不止是单纯的学习者，而且是合作者、参与者和实践者。在基于数学开放题的学习中，强调学生要成为一个自主学习者，学生要自我激励、设置学习目标、独立进行研究、进行自我引导的学习、将新建构的知识应用到复杂的问题解决中，并且还要监控和反思解决问题过程。而由于问题的复杂性，学生以小组为单位进行学习，因此，学生在这种学习法中也同样是合作者。在基于数学问题的学习中，学生是致力于解决问题的人，他们的学习活动涉及到提出问题、猜想结果、指定计划、观察、实验、进行表达与交流等各种活动，这些都于科学研究相类似，因此，学生也是一个研究者。

3.基于数学开放题的教学步骤。

教学步骤可以安排为：教师提出问题——学生动脑动手解答问题——讨论研究，师生合作交流——师生提出变式问题，深化研究——教师总结，或提出更一般化的问题。

在基于数学开放题的学习法中，开放题是组织教学的启动器和动力源，教学内容都镶嵌在具体的开放题中，它规定着教学的方向和特点，因此开放题的质量直接影响着教学的成败，这就要求教师要精心设计，选择合理的开放题引导学生进行探索和思考。

4.提倡合作学习。

由于问题的开放性和复杂性，在整个问题或某些环节的探索过程中，往往需要学习者的合作交流活动，通过相互沟通和鼓励形成积极的良性互动环境。

基于开放性数学问题的学习法促使师生之间、学生之间产生互动，相互交流，教学相长，共同发展，教师的权威由外在的制度性权威转变为内生的个人权威，师生关系更趋于平等。因此，这种学习法有利于提高学生学习的主动性和对学习的自我监控；学生能更加参与课堂教学中，并时常表达自己的想法；学生拥有更多的机会，全面地使用数学知识和技能；成绩较差的学生（也许因为某种思想方式的干扰）也能够以他们自己的方式回答问题；学生能够主动论证解决问题的思维方式；学生还能从中积累丰富的经验，乐于发现并接受其他同学的论证方式：同时由于学习过程中，学生需要相互协作，相互交流想法，相互鼓励和沟通，所以它还能促进学生间良好的人际关系的发展，促进学生心理品质的发展和社会技能的提高。

基于数学开放题的教学活动与传统实施的教学活动应该是互补的，并不是两者选其一。为了促进这种互补关系，教师应当更好地为学生提供多种学习机会，从多角度来挖掘问题情境，将传统教学材料设计成小规模的教学单元，替代一两次大规模的单元活动。同时由于开放式问题答案的不唯一性，问题情景没有预定的结果，学生会设计出各种不同的表达方式，积极地使用那些已学的或自然获得的知识、技能、观点及思维方式，因此有效地实施这种基于数学开放题的学习方式进行数学教学也是对教师的一种挑战。