第五节　学会解答与探索数学题

在学习数学基础知识、数学语言以及数学思想与方法的过程中，必须伴随着解答一定数量的数学习题，否则数学是学不好的。解题既要注意数量，又要讲究质量；既要学会探索解题的门径，又要注意解题的格式；既要发挥数学概念和规律在解题中的指导作用，又要提炼解题的一般方法和技能技巧。

一、注意发掘题目的隐含条件

高中数学题的结构一般比较复杂，具有综合性。在审题时，除了明确题中所涉及的概念和关系这些明显条件外，更要注重发掘题目中的隐含条件。发掘隐含条件的方法很多，要具体问题具体分析，有些从概念特征出发，有些从图形特征出发，有些从结构特征出发，有些从相关知识出发，有些从结论中发掘。

例设f（x）是实函数，且

求证：

分析：观察式①的结构，发现式①中含有两个未知函数f（x）和，x和互为倒数，把x换以，就可得到隐含于式①中的另一个条件：

从这两个条件中，容易解出f（x）。

二、注意综合沟通、相互转化

高中数学的各分支——代数、三角、立体几何、解析几何等知识和方法是相互联系，相互沟通，可以相互转化的。解题时，要重视运用形数结合和转化的思想方法，多渠道地探索解题途径。

例设a、b、c是三个非负实数，求证：

分析：本题是带根号的不等式证明问题，直接去证有困难。但我们把它转化为复数：令z₁＝a＋bi，z₂＝b＋ci，z₃＝c＋ai，则，再利用复数不等式去证，问题就变得非常容易。

再如，已知a²＋b²＝1，求的值。

分析：本题有a²＋b²＝1，故可令a＝sina，b＝cosa，运用三角换元法，可以很简捷地求出问题的结果。

三、重视一题多解、一法多用、一题多变、多题概括的训练

一题多解是指对一个习题，从多方面、多角度、多层次去思考，既要注意正向思维，又要注意逆向思维，运用不同的数学方法进行解答，解答后要及时总结，选出最佳思路和方法。

例如，长度为ι（ι≥1）的线段AB两端在抛物线y＝x²上移动，M是中点，求M离x轴最近时的坐标。

解法一，用参数法借助三角函数不等式求解；

解法二，用判别式法借助不等式求解；

解法三，根据抛物线定义借助不等式求解；

……

一法多用，是指对重要的数学解题思路和方法，像换元法、形数结合法、解析法、复数法、参数法、待定系数法，去解答不同情况、不同内容、不同类型的题目。这样一方面可以更灵活、更深刻地掌握解题思路和方法，另一方面可以增强数学知识和问题的横向联系。

一题多变，是对一道习题，从改变条件或改变结论或改变结构等方面入手，使一题变为多题，这样不仅可以丰富习题的内容，而且可以对数学方法的灵活性有更深刻地理解。

多题概括，是指对做过的多个题目进行综合分析，找出共性和差异，抽象概括出共同的解题思路和方法，以增强数学题的谐和性，提高对习题中的一般问题和特殊问题的辩证性的认识。

四、讲究解题格式，做到准确、简练

高中数学习题的解答过程一般比较复杂，特别是立体几何习题，叙述更加困难，处理不好，不但冗长，而且容易导致错误。

在叙述解题过程时，一般要做到：

（一）尽可能使用符号化数学语言。

不少数学家在总结解题经验时指出：解题就是把题归结为已经解过的问题。这无疑是一条成功的解题经验。因此，我们在解题训练时，要注意记忆一些典型的基本题目的结构和解法，还要时时注意在解新的题目时，思考它与自己解过的哪个题目相类似？可以化归为哪个已知题目？它们有何差异？采取什么措施加以弥补。

例如，高中解析几何课本习题八第8题，过抛物线y²＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y₁、y₂，求证：y₁y₂＝－p²。

如果把本题的结构、结论和解题方法记住，许多涉及抛物线焦点的问题都可以归结于它。像本习题的第13题，利用它去证将十分简便。

又如高中代数课本中，不等式一章的习题十八第11题：求证。实质上是一个应用很广的公式，很多有关不等式的证明可以归结于它。

（二）只写出主要解题步骤，以不使推理脱节为限。

（三）正确使用简化三段论式，即大前提一般不写，只写出小前提和结论。

（四）注意分节、分行及标点。