第四节　重视学思想方法和语言的学习

一、数学思想和方法的学习

数学思想是数学知识的结晶，是高度概括的数学理论。数学方法是数学思想在数学活动中的反映和体现，它贯穿于知识的汲取、储存、加工、运用的全过程。它可以使“死”知识复活，相对增加知识的智力价值。在数学学习活动中，认识问题和解决问题，都是知识和方法相互作用的结果。例如，解析几何中把几何问题化为代数问题来研究，就是应用形数对应的思想和化归思想，将曲线上的点的特征性质用与之等价的代数条件表示出来。由此可见，数学思想与数学方法的学习在数学中占有重要的地位，必须把它们学好。

在高中数学中经常接触到的重要数学思想有；字母代数的思想、变换与化归的思想，对应与函数的思想、分类的思想、分解与组合的思想、集合与映射的思想、公理化的思想等。数学方法有：分解法、扩充法、类比、命题转换法、特殊化法、联想法等思考方法；归纳法、演绎法、分析法、综合法、反证法、同一法等证题通法；配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、比较系数法、判别式法、解析法、参数法、复数法、形数结合法等解题方法，这些思想方法相互联系、相互沟通、相互渗透、相互补充、将整个数学知识构成一个有机的、和谐的统一整体。

如何学习数学的思想和方法呢？

（一）注意从数学基础知识和数学思想方法两个方面来分析、研究教材

在学习教材的每一章节乃至做每一道习题时，都要用两条红线加以分析。一条红线是分析数学基础知识，另一条红线是分析教材内容中贯穿的数学思想和方法，弄清哪些章节贯穿着哪些数学思想和数学方法。例如用函数思想可以把多项式、方程、函数、数列、不等式等内容统一起来；判别式法散见于二次方程、一元二次不等式、求直线与二次曲线的交点及相切等内容之中；待定系数法重点用于解析几何中，同时还散见于因式分解、式的恒等变形等内容。

（二）重视过程的学习

数学思想和方法常常体现在概念的形成过程、结论的推导过程、规律的揭示过程、问题的探索和解决过程之中。例如，立体几何的学习过程中，体现着公理化思想和方法。在学习过程中，要逐步领悟，否则，只能是只见树木不见森林，难以把握数学知识的精神实质。

（三）注意数学思想方法的挖掘和提炼

数学思想和方法蕴含于基础知识之中，需要我们在学习中亲身体验和认真思考才能获得。例如在我们学习和推导角的、差、倍、分三角函数公式时，体验到这诸多公式中，有一个最基本的sin（α＋β），其他有关公式直接地或间接地由公式sin（α＋β）推导而得。

二、数学语言的学习

高中数学语言的特点是符号化语言增加了。

用特定的数学符号表示数及其关系，表示空间概念和性质，并把具有确定意义的数学符号作为“形式”对象进行运算和论证。这是数学的主要特征之一——形式化。在学习数学中，如果不能掌握数学语言，数学学习将无法进行。那么，怎样学习数学语言呢？

（一）学会文字语言、符号语言、图形语言的“互译”

在数学学习中，我们经常接触到的数学语言基本上分为三类：文字语言、符号语言、图形语言。文字语言具有通俗性，图形语言具有直观形象性，符号语言具有精确性、简约性和运算性。数学表达和运算主要运用符号语言。在学习时，我们一定要学会将这三种数学语言进行“互译”。高中数学中许多定义、定理、公式、法则、我们不但要会用文字语言叙述，更要习惯于用符号语言、图形语言来表达。

例如定理：垂直于同一条直线的两个平面平行。（文字语言）。用符号语言表达：

.用图形语言表达为（如图2）

图2

再如，椭圆的定义——用文字语言叙述为：平面内与两个定点的距离之和等于正常数的点的轨迹叫椭圆。

用符号语言叙述为：椭圆就是集合：M＝｛P：｜PF₁｜＋｜PF₂｜＝2α，｜F₁F₂｜＝2c，α＞0，c＞0｝

图形语言：如图3

图3

（二）注意符号语言的形式与内容的统一

当我们应用概念、公式、法则进行运算和论证时，仅对符号表达式进行形式的推导，思维过程出现简缩、跳跃、越层现象，这是必要的。但是，值得注意的是，有些同学在用符号表达式进行形式推导时，只是机械地进行，不能对结果的符号表达式进行解释，重新赋予意义。主要原因是这些同学对符号所表达的内容了解不清，出现脱节现象。因此，在数学学习中，必须使符号语言形式与所表示的实际内容达到统一。

（三）注意符号语言的一般与个别的统一

例如，我们学习组合公式，这里的m，n在非负整数内是任意的但m≤n（注意C₀⁰＝1）。在具体应用时，m、n可代表某一确定的数，还可代表某一表示非负整数的代数式。灵活运用公式，就在于这一般到个别的转化之中。另外，将零碎的、局部的知识上升到整体的、规律性的知识，又依赖于从个别到一般的转化。例如，我们通过个别对数函数y＝log₂x，，y＝log₁₀x的学习，再把对数的底用字母表示就上升到一般对数函数y＝log_ax（a＞0，a≠1）。我们只有从这两者的结合上才能深入理解数学语言的奥妙！

（四）注意符号语言与图形语言的结合

在数学学习中，利用图形语言的直观性可以更好地理解符号语言所表达的内容。在高中数学中，借助函数图像理解函数的性质，就是这两种语言结合的典型例子。