第三节　数学基础知识的学习方法

高中数学基础知识包括教材中的概念、性质、公式、法则、公理、定理以及在这些内容中反映出来的数学思想和数学方法。

一、数学概念的学习方法

概念是反映客观事物本质属性的思维形式，并且它是最基本的思维形式，它是构成判断、推理的基础，是学好其他数学知识的前提。有的同学认为学数学主要是学会解题，概念理解得清楚不清楚，关系不大，其实这种认识是十分错误的。同学们在数学学习中经常出现的错误，或者问题稍加变化就束手无策，都与概念理解不清、不活有关。那么，怎样才能学好数学概念呢？

（一）准确地理解概念

1.了解数学概念形成的基础和过程，以理解概念所反映的对象的本质属性。

如异面直线的距离，一方面它从一个侧面刻画了一对异面直线的位置特点，另一方面它存在着一条公垂线段，并且这条线段比较连结两条异面直线任意其他两点的线段是最短的。因此，把这条公垂线段的长作为该异面直线的距离。

2.准确地领会定义的逻辑意义

高中数学的概念一般是用定义的形式来揭示其本质属性的。领会定义时，不仅要弄清定义中各个概念的含义，更要准确理解各概念之间的逻辑联系。

如：高中代数中的函数定义是“集合A、B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射f：A→B就是定义域A到值域B上的函数。”这里定义的函数，是一个特殊的映射。即A、B都是数集且非空；A是原象集，B是象集；B中没有一个元素在A中没有原象；从A到B的对应法则是f。这样，一方面对定义中所涉及的概念有了清楚的了解，另一方面，还会用自己的语言去剖析概念定义的要点，这就达到了领会定义逻辑意义的目的。

3.正确掌握表示概念的名称和符号

用数学符号表示概念的名称，是数学的一大特点。在数学运算过程中，只是对符号进行形式操作，而不过分考虑符号的意义，这就容易发生概念与符号脱节、符号与符号混淆的现象。我们在使用符号时，一方面要弄清符号所代表的概念的意义，如很清楚地知道符号y＝f（x），x∈A，与s＝f（t），t∈A表示同一函数；另一方面还要注意符号的附加条件，如对数函数y＝log_ax，要求a＞0，a≠1且x＞0，为什么有这样的要求。

（二）弄清概念之间的关系

在数学学习中，弄清每一个概念和其他概念之间的关系和联系是十分重要的。特别是在一个单元结束之后，如果我们对所学过的概念加以系统整理，理清它们之间的联系和线索，分析它们的异同点，就更有利于我们系统地掌握数学基础知识。

认识概念间的关系，在逻辑上一般是通过比较概念所指的对象集合（外延）来确定的。一般有五种关系，如棱柱和直棱柱间具有包含关系（后一概念所指对象集合是前一概念所指对象集合的子集合）；正方体和正六面体是合同关系（两概念所指对象集合相等）；等差数列和等比数列是交叉关系（两概念所指对象集合只有部分重合）；圆柱和圆锥是对立关系（这两概念所指对象完全不同，但它们又同属于旋转体）；实数集和虚数集是矛盾关系（它们都是复数集的子集合，且非此即彼）。

（三）弄清概念间的区别与联系

数学中的许多概念之间既有区别又有联系。像排列与组合，我们必须进行全面地分析、比较、弄清它们的异同点，从而正确理解和掌握它们，避免思维混乱。排列和组合都是从几个不同元素中取出的不同元素（m≤n）；前者有序，后者无序。

（四）掌握概念的应用

应用数学概念去解决有关问题，不仅使有些数学问题得到迅速解决，反过来，在运用中还能加深对概念的理解和认识，使我们对概念的认识上升到一个新的层次。

一个数学定义都包含两个真命题，一个是判定命题，一个是性质命题。如数列的概念定义是：按一定的次序排列的一列数叫做数列。它的意思是只要是按一定次序排列的一列数就是数列（数列的判定），或者是说数列就是指按一定次序排列的一列数（数列的性质）。在应用概念时应注意定义的这两种含义。

另一方面要充分发挥概念在解题中的指导作用。

例如，抛物线y²＝2px上M点到焦点距离为（t＋p）/2，求M点的横坐标。

根据抛物线的定义知，M点到准线的距离等于M点到焦点的距离（t＋p）/2，而准线方程为x＝—p/2。所以，M点的横坐标为（t＋p）/2－p/2＝t/2。此题若用求曲线交点的方法去求，将复杂得多。

二、数学公式和法则的学习

高中数学中的公式和法则较多，而且较抽象复杂。在学习时，对每一个公式、法则都要求掌握它的由来和用途，把握住它的适用范围，做到应用熟练、变换合理，在理解的基础上，完整地记忆，千万不要死记硬背，否则将会在解题中出现错误。

（一）理解公式与法则的导出

高中数学中的公式和法则的导出，一般是依照从特殊到一般的认识规律去进行的。常用的方法有具体归纳法、抽象演绎法和类比法。

1.具体归纳法

从具体实例出发，分析其共同本质，抽象概括出公式和法则。例如，等差数列和等比数列的通项公式。

2.抽象演绎法

（1）直接从定义导出。如反映同角三角函数关系的公式，三阶行列式的变形法则等。

（2）将未知转化为已知来导出。如差角三角函数公式、倍角三角函数公式转化为和角三角函数公式来解决等。

（3）通过前后知识之间的逻辑联系导出公式和法则。如任意角三角函数的诱导公式是通过a与π±a、2π±a的终边之间的关系而导出的；组合公式是通过与排列公式的关系导出的等。

3.类比法。如复数的加法法则、乘法法则是通过与多项式加法、多项式乘法的类比而得到的。

在数学学习中，只有掌握了公式、法则是怎样导出的，才能真正了解知识的来龙去脉、内在联系，建立公式系统，做到运用自如。

（二）注意公式和法则成立的条件

例如，公式

sina·csca＝1，（a≠kπ，k∈z）

写在后面括号内的“条件”是很重要的，离开了各自的条件，就不能保持原有的结果。

（三）掌握公式与法则的应用

掌握公式的应用是学习公式的关键环节。不仅会“正向”应用，还要会“逆向”应用，更重要的是灵活应用，变式应用。

例如：对数换底公式：

log_bN＝log_aN/log_ab（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）

首先要学会“正向”应用公式。如化简：（log₂3·log₉4）x—log^21gx；还要学会“逆向”应用公式，如证明；更要灵活运用公式；如计算（log₂³＋log₄⁹＋log₈²⁷＋……＋log₂ⁿ³ⁿ）·log₉。

对于一个公式，不仅要熟悉公式的基本形式，还要掌握它的各种变形。在解题时要根据已知条件，灵活选择变形公式，这样应用效率就高，运算就会变得合理简捷。

例如倍角的余弦公式cos2x＝2cos²x－1＝cos²xsin²x＝1－2sin²x，也可变形为，cos²x＝在某些算题中用起来就简捷多了。

三、数学定理的学习

（一）学会分清定理（或命题）的条件和结论。特别是对于比较复杂的定理很难一下子分清条件和结论，这时，要字字斟酌，整体分析。并将定理的条件和结论分别用数学符号或数学式子表示出来，写成“已知”、“求证”。对于几何定理，还要先根据题意画出图形。

（二）掌握推理的方法

定理的证明是通过推理来进行的。因此学习数学定理必须学会推理的方法。

推理的方法常用的有演绎推理和归纳推理、类比推理。

1.演绎推理

演绎推理又叫演绎法，它是由一般命题到特殊命题的推理方法。在数学证明中应用比较广泛的是三段论法，即由大前提、小前提，推出第三个判断（称推理的结论）。定理的证明常常是由一连串的三段论法所组成的。

2.归纳推理

归纳推理又叫归纳法，它是由特殊命题推得一般命题的推理。归纳推理常见的形式有完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是把适合命题条件的一切可能情形全部考察到，从而确定命题真实性的一种推理方法。这种方法可以作为证明方法。不完全归纳法是通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出该类事物的一般性的结论。它所得到的结论，只能作为一种猜想，其真实性必须经过严格的逻辑证明。不完全归纳法是为探索规律、导致发现的一种重要方法。

3.类比推理

类比推理是由特殊命题到特殊命题的推理。例如，从平面几何的定理，通过类比，获得立体几何中的定理；从二阶行列式的性质，通过类比，获得三阶段行列式的性质等。

（三）学会常用的证明方法

数学定理是对数学对象重要关系的规律性反映。我们学习定理，不仅要熟悉它所反映的事物的属性，更要注意学习证明定理的方法和技巧。常用证明方法有直接证法和间接证法，间接证法又分为反证法和同一法；按推理的顺序又有综合法和分析法。

（四）建立定理系统，形成知识结构

学完一个单元或一本书之后，要从纵的方面分析定理与定理、概念与定理的逻辑联系，把定理系统化，这样既便于记忆，又便于应用。同时，要以数学方法为主线，把定理归类，以揭示定理间的横向联系，有利于灵活掌握定理。