阿基里斯追不上乌龟

大约公元前5世纪，芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦，是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。芝诺为巴门尼德的“存在论”进行辩护，但是不像他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。这就是所谓‘芝诺悖论’。”芝诺的这些悖论把一些当时自鸣得意的哲学家震惊得不知所措。据说芝诺一共推出了40个各不相同的悖论?现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论尤为著名。

1．“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的1／4点；要过1／4点又必须首先通过1／8点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是永远不可能开始的。也就是说，运动是不可能的。

2．“阿基里斯追不上乌龟”：快跑者追赶慢跑者，快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄，奔跑速度很快，而乌龟速度很慢。阿基里斯和在他前面有段距离的一只乌龟同时开跑，阿基里斯将永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的原出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了一段距离。这种情形会无限重复，因而乌龟必定总是跑在前头。

3．“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。

4．“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。

德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。

尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是绝不可能成为完善的，静止绝不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个虚像，因为它来自多样性，来自由感官唤起的多个幻象。下面是尼采的分析：

假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念!

假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点!

假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念!

尼采由分析得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一性。

事实上，这四个悖论中提到有限性和无限性的关系问题，今天都已经得到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。19世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。

可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释上述运动悖论。感官不同于思维，当希腊人用概念来判断现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。

虽然芝诺时代已经过去2400多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从哲学史和数学史上一笔勾销。正如美国数学史家E．T．贝尔所说，芝诺毕竟曾说过：“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。

芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。