全屏显示专题章节

在20世纪50年代，我只感觉到我们的工作成果很精美，到60年代我才认识到它的重要性，到70年代才认识到它在物理学中的巨大意义。它与数学深层的联系，直到1974年后期我才逐渐明白。

物理学界有一句广为物理学家们所熟悉的话：

其实这句话可以扩大为“科学家提出的方程比科学家聪明”。因此，我们也可以说“麦克斯韦方程比麦克斯韦还要聪明”，“爱因斯坦提出的方程比爱因斯坦还要聪明”，“狄拉克方程比狄拉克还要聪明”，“杨-米尔斯方程比杨振宁还要聪明”等，这样的故事无穷无限。爱因斯坦的故事前面已经讲过，下面我们通过具体的事例，讲讲发生在杨振宁、薛定谔研究过程中的这一惊人的事实。

我们用倒叙法先从2004年的诺贝尔物理学奖讲起，再回头来讲薛定谔的故事。

2004年颁发诺贝尔物理学奖的时候，发生了一件许多人没有想到的事情：开始颁奖以前，在主席台前面出现了一位美女和一位俊男，他们两人手里各执一条红绸带的一端。当他们两人靠近的时候，绸带松垂着，两人之间很自由，彼此不受束缚；但是当两个人身体分开并向后仰，绸带绷紧了的时候，他们就不自由了，只有剪断红绸带才能使他们获得自由。

2004年诺贝尔物理学奖颁奖仪式上的小品。这表示两个夸克相距很近，由于渐近自由，所以相互之间作用很小以至于趋向于零

表示两个夸克相距远了以后，相互作用开始变大；如果无限远，则相互作用无限大。因此，目前的理论认为，两个夸克永远不可能分开

这个小品表现的就是现代粒子物理学中的“渐近自由”（asymptotic freedom）这个理论，即夸克彼此之间离开得越远，它们之间的相互作用就越大；当它们靠得很近的时候反而相互作用很小，非常自由。简单说就是：越靠近越自由；离开得越远就越不自由，而且永远不能把它们分开。

2004年诺贝尔委员会颁发物理学奖的时候，就用这样一出小品来诠释获奖者的贡献。3位美国物理学家格罗斯（1941— ）、维尔切克（1951— ）和波利策（1949— ）在1973年发现物质的最基本粒子——夸克（quark）——有一种所谓“渐近自由”的特性，31年之后他们3人终于因为这一发现获得诺贝尔物理学奖。

什么是夸克呢？通俗地说，夸克是组成质子、中子、介子的基本粒子，它们是目前人类无法再分离的物质基本粒子。

我们知道，杨振宁和罗伯特·米尔斯（1927—1999）在1954年提出一个非阿贝尔规范场理论，他们的本意是想用它来解决强相互作用中的问题。这个理论以后被称为“杨-米尔斯理论”（Yang-Mills theory），这个理论中的方程就是杨-米尔斯方程。开始的时候，由于这个理论中得出的粒子没有质量，所以基本上没有人相信它是一个有用的理论，而认为只是一个精致的、美丽的数学方程。但是后来由于后续的一些颇为意外的发展，杨-米尔斯理论开始受到物理学家们的注意，而且取得了电磁相互作用和弱相互作用统一的巨大成就，并且使得3位物理学家获得了1979年的诺贝尔物理学奖。此后物理学家最为关注的就是，杨-米尔斯理论能不能用来解决大统一理论（电磁、弱、强三种相互作用的统一理论）呢？物理学家们翘首以待。

后来物理学家发现夸克有一个特性非常古怪，这就是开始说的，夸克具有渐近自由的特征，这与以前所知道的相互作用完全不同。我们知道，引力、电磁和弱相互作用都是力的大小与距离成反比，即两个物体（或者粒子）相隔越近相互作用越大，但是夸克却恰好相反，相距越近相互作用越小，相距越远反而相互作用越大，简直让人匪夷所思！正因为这一特征，在20世纪70年代物理学家普遍认为，以下两点是绝对不会错的：

（1）实验已经可靠地证明夸克一定要求渐近自由；

（2）杨-米尔斯方程与渐近自由有根本的矛盾，它不能用来解决夸克的相互作用问题。

美国物理学家格罗斯和他的学生弗兰克·维尔切克两人对这一现状很感兴趣，他们本来想通过他们的研究一了百了地宣判杨-米尔斯方程“死刑”，即杨-米尔斯方程不能用来解决强相互作用的问题。起初，格罗斯和维尔切克还真的“证明”了杨-米尔斯方程不能渐近自由，但是后来却发现由于一个符号弄错了，因此这个证明实际上有问题。符号改正以后，他们惊讶地发现：杨-米尔斯方程居然与渐近自由一点都不矛盾。格罗斯后来说：

这就好像你想从各个角度证明上帝不存在，但是在最后一个证明中，爬上山巅，却发现“他”就出现在你的面前！

这一发现让所有物理学家感到震惊和不可思议。杨-米尔斯方程怎么比杨振宁和所有物理学家都还要聪明，居然早就隐含着渐近自由的特征呢？物理学家没有想到的事情居然被方程早就想到了！这就好似杨-米尔斯方程躲在暗处，洋洋得意地暗自嘲笑物理学家们的无能一样！

其实这种事情在物理学界早就层出不穷，但是每一次这种事情再次出现时，总还是会让物理学家觉得不可思议，大为惊讶。

像以前许多次一样，每年的诺贝尔奖获奖名单公布以后，获奖者当然高兴得不得了，但是也一定有人因为错过了发现的机会而扼腕长叹、顿足捶胸。

2004年也不例外。至少有一位物理学家悔得肠子发青，他就是荷兰物理学家特霍夫特（1946— ，1999年获得诺贝尔物理学奖）。1972年春天他在法国马赛一次会议上，对德国物理学家西曼基克说：

西曼基克觉得难以置信，就说：

倘若你是对的，那么你应该马上发表这一结果，因为这太重要了！

可惜特霍夫特当时忙于进行另外一个还没有结束的研究，没有听从西曼基克的建议。到1973年格罗斯、维尔切克和波利策发表他们的发现以后，特霍夫特真是后悔得想把自己狠狠揍一顿！

埃尔文·薛定谔（1887—1961，1933年获得诺贝尔物理学奖）是奥地利物理学家。

我们知道，爱因斯坦在1905年提出“光子”（photon）学说以后，光由此就具有所谓的“波粒二象性”（wave-particle duality），即光既是一种波动，同时又是一种粒子。这给物理学家带来巨大的困难。当这个困难还没有完全解决的时候，1924年11月25日，法国物理学家德布罗意（1892—1987，1929年获得诺贝尔物理学奖）在他的博士论文《量子论的研究》中又令人惊愕地提出，不仅仅光有波粒二象性，电子也有，即电子不仅仅有粒子性，还有波动性！天啦，这简直是把个物理搅得底朝天。

1924年底，慕尼黑大学物理化学教授亨利到巴黎大学访问时，从德布罗意的导师朗之万那里得到一份德布罗意的论文，他让薛定谔看，请他发表看法。薛定谔看了以后说：

后来亨利把薛定谔的意见转告了朗之万，朗之万说：

薛定谔的确再“多次”读过德布罗意的论文，但其中原因不是听了朗之万的建议，而是受到爱因斯坦的影响。实际上当时对绝大多数物理学家来说，德布罗意的物质波理论非但奇特，而且简直是荒诞和“一派胡说”，怎么能把电子看成是一个波？粒子和波风马牛不相及，怎么能够扯到一起？在一片反对的声浪中，只有爱因斯坦认为物质波理论是“一项有趣的尝试……是投射到我们这个物理之谜上的第一道微弱光线”。而且在1925年2月发表的一篇关于量子统计的论文《单原子理想气体量子论》中，提到他文章中的“能量波动公式中的干涉项”是根据物质波推导出来的，还说：

一个物质或物质粒子系怎样与一个波场相对应，德布罗意先生已在一篇很值得注意的论文中指出了。

一贯重视统计力学研究的薛定谔看到了爱因斯坦的这篇论文。爱因斯坦如此重视德布罗意的物质波思想不免让薛定谔暗地大吃一惊，私下想这里面一定大有文章。于是他开始认真研究德布罗意的论文。

恰好这时荷兰物理学家德拜（1884—1966，1936年获得诺贝尔化学奖）对他说：

薛定谔，我不明白德布罗意在说些什么，你读一下，也许能作一次不错的报告。

薛定谔答应了德拜的请求。

1925年11月3日，薛定谔写信给爱因斯坦说：

几天前我怀着极大兴趣读了德布罗意别具匠心的论文，并且最终明白了……

12月6日，他给朋友德国物理学家朗德（1888—1975）写信说：

这些天来，我深入思考了德布罗意别具一格的理论。它非常令人激动，但同时也面临困难。

大约在12月23日，薛定谔在每两周举行一次的“专题讨论会”上，介绍了德布罗意的物质波理论。介绍完以后，德拜认为德布罗意的想法太幼稚，还追问薛定谔：

对呀！声波、电磁波都有波动方程来描述，那物质波也应该有一个波动方程呀！这使薛定谔决定不惜一切去找到这个波动方程。

据当时参加过专题讨论会的美籍瑞士物理学家布洛赫（1905-1983，1946年获得诺贝尔物理学奖）回忆说：

德拜作为索末菲的学生，他当然明白要想准确地了解波，必须有波动方程。于是他随便说了一句“物质波也应该有一个波动方程呀”……仅仅几周之后，薛定谔在讨论会上作了另外一个报告，他的开场白是：“我的同事德拜建议应该有个波动方程；好吧，我已经找到了一个！”

这个报告应该是在1926年1月9日以后作的。因为在1925年圣诞节前几天，薛定谔带着情人到玫瑰山谷（Arosa）共度圣诞佳节。玫瑰山谷是瑞士的滑雪胜地，每年许多欧洲人在圣诞节期间都喜欢到这儿来滑雪度假。薛定谔当时正被物质波的波动方程所困扰，决定趁假期与自己的情人在阿尔卑斯山雪地的清新空气中获得激情和灵感。他住在朋友赫维格博士的山庄里。

极富戏剧性的是，情人加雪山，使薛定谔才智激增。圣诞节之后，他进入了长达12个月之久的活跃创造期。沃尔特·穆尔在他写的《薛定谔传》（Schrӧdinger，Life and Thought）中写道：

正如那位激发了莎士比亚创作十四行诗灵感的神秘女郎一样，这位在玫瑰山谷的女士也成了一个永久的谜。我们知道她既不是洛蒂也不是伊伦娜，也绝不可能是弗莉歇……不论薛定谔的这位神秘伴侣是谁，薛定谔灵感突然大爆发，非常令人惊讶。他进入了长达12个月之久的十分活跃的创造期，这在科学史上确实是罕见的。当他对一个重要问题感到迷惑时，他可以达到极度甚至绝对专心致志的程度，动用了他作为理论物理学家的全部智慧。

薛定谔波动方程可表示为

式中：Ψ是波函数（wave function）；m是电子的质量；E和V分别表示电子的能量和势能；h是普朗克常量；Δ2是拉普拉斯算符（Laplacian）。

阿瑟·米勒在《情欲、审美观和薛定谔的波动方程》一文中写得更是活灵活现。米勒写道：

埃尔文·薛定谔的一位好朋友回忆道，“他在生命中的一次姗姗来迟的情欲大爆发中完成了他的伟大工作。”这次顿悟发生在1925年的圣诞节，当时这位38岁的维也纳物理学家正与一位从前的女友一起，在瑞士达沃斯附近的滑雪胜地玫瑰山谷度假。他们的激情是长达一年的创造性活动爆发的催化剂。虽然薛定谔的妻子很可能对她丈夫最近一次不忠并非一无所知，但是就像那位激发了莎士比亚写那些十四行诗的女士一样，这位女友的名字仍然是一个谜。也许我们应该把一些了不起的事实归功于这位身份不明的女子，那就是使一些相互之间显然没有联系的研究线索结合了起来，而薛定谔就此发明了以他的名字命名的那一个方程。

这个方程称为薛定谔方程（Schrӧdinger equation），它是量子力学的基本方程，和经典力学中的牛顿方程相当。薛定谔用它不仅自然而然地解决了氢原子光谱中玻尔提出的假设，还算出了能级，导出了塞曼效应和斯塔克效应。长期以来，物质怎样由原子组合起来，化学键的本质是什么，原子为什么稳定地存在……这一系列问题一直都是一个谜。现在好了，有了薛定谔方程，微观世界物质运动的规律才终于被揭示出来。薛定谔本人也因此名垂青史，并于1933年获得诺贝尔物理学奖。

1926年11月，他把6篇关于波动力学的文章结集出版，并写了前言：

这6篇文章应读者的强烈要求而再版。最近，我的一个小朋友对我说：“嘿，当你开始时，你肯定从来没想过会产生出这么多聪明玩意儿。”在适当扣除含有恭维成分的形容词之后，我完全同意上述表述，这使我记起了这本书涵盖的工作成果，是一个一个接连取得的。后面部分的知识对于前面部分的作者来说经常是全然未知的。

比起量子理论发展史上的其他著名科学家，薛定谔可说大器晚成。他发表第1篇使他成名的波动力学论文时已有39岁。这个年龄本不算大，但爱因斯坦26岁、玻尔28岁、海森伯24岁、泡利25岁时，都一举成名了。薛定谔快40岁时还能在彻底改变经典物理学的量子革命中搏击，实在不简单。

有趣而又奇怪的是，在举众欢腾时，物理学家们心里都十分清楚，薛定谔方程中波函数Ψ的四周几乎是一片黑暗，大家都不知道Ψ这个函数是个什么东西，甚至于都不知道如何解释它。但这种混乱的状况似乎并没有怎么影响物理学家欢欣的心情，也许他们都相信一句俗话：

薛定谔本人倒有点坐立不安，因为他并不清楚波函数Ψ到底指的是什么东西。而其他物理学家虽然也能够用薛定谔方程解决一些奇妙的问题，但却正如著名物理学家维格纳（1902—1995，1963年获得诺贝尔物理学奖）所说：

起初，薛定谔认为“波动性”才是唯一实在的东西，光子、电子等具有的“粒子性”实际上只不过是一种派生的东西，是被波掀起的一种“泡沫”。这显然是一种一元论观点。为了坚持这一观点，他利用线性谐振动波函数叠加成波包（wave packet）来代替电子。但伤脑筋的是，波包它有时聚拢，而且还随时间而扩散，似乎电子有时“发胖”，有时又自动“减肥”。

虽然波函数Ψ的解释一时闹得沸沸扬扬、莫衷一是，但大部分物理学家仍然十分认真地对待薛定谔方程，并利用它得出了许多结论。这种情况使得薛定谔深感责任重大而疑虑重重，在一次会议上，他甚至于对自己提出的方程表示怀疑。

一位瑞士物理学家文策耳（1898—1978）曾当场诙谐地对薛定谔说：

还有人作打油诗取笑薛定谔，说薛定谔的方程比薛定谔本人还聪明，薛定谔本人想不到的问题，方程竟能奇迹般地提出来而且还可加以解决。例如德拜的一位年轻同事、德国理论物理学家休克尔（1896—1980）写了一首打油诗：

薛定谔遇到的困难实际上是因为他片面强调了波动性，试图抛弃波粒二象性所引起的粒子性。

转机来自1926年9月。9月底薛定谔应玻尔的真诚邀请，来到了哥本哈根。在这儿薛定谔和以玻尔为首的哥本哈根学派展开了激烈的争论。

争论夜以继日地进行着，但没有达成任何共识。几天后，薛定谔因感冒发热病倒在床。玻尔太太端茶送水地照顾他。不过即使坐在他的床边，玻尔仍然坚持不懈地继续争论：

但是薛定谔还是不明白。

正如沃尔特·穆尔在《薛定谔传》中所写的那样：

薛定谔意识到承认微观粒子同时具有波动性和粒子性的必要，海森伯也觉得薛定谔强调对微观客体进行波动的描述也不可缺少。1926年，薛定谔在一篇论文中令人意外地声称，海森伯强调微观粒子的粒子性的矩阵力学和他自己强调的粒子具有波动性的波动力学，这是统一理论的两个不同的方面。

后来，人们将这两种力学通称为量子力学，而薛定谔方程则作为量子力学的基本方程。但薛定谔本人对方程中的波函数提出的物理解释则是错误的，后来德国物理学家玻恩（1882—1970，1954年获得诺贝尔物理学奖）对波函数提出一种概率诠释（probability interpretation）。这种诠释认为，由薛定谔方程里的波函数不能准确确定一个电子的位置在什么地方，只能计算出在空间某一点电子存在的概率。于是人们弄清楚了一个极重要的概念：对原子现象的描述在原则上只能是统计性的。

哥本哈根的一批物理学家们在玻尔直接的影响下，迅速接受了玻恩的概率诠释；但与此同时，这一诠释又受到许多著名物理学家如爱因斯坦、薛定谔等人的反对，而且爱因斯坦直到去世前都坚持认为：

我无论如何都深信：上帝是不掷骰子的。

这是一个至今还没有说清楚的问题。不同的科学家有不同的看法。我们这儿只谈狄拉克的一种颇具代表性的看法，即狄拉克的“数学美原理”（the principle of mathematic beauty）。

英国物理学家狄拉克（1902—1984，1933年因提出狄拉克方程获得诺贝尔物理学奖）在1928年提出一个狄拉克方程，这个方程所取得的惊人的、出乎人们意料之外的巨大成就，除了方程本身自动出现物理学家一直百思不得其解的自旋以外，还自动出现物理学家从来没有想到的反粒子（anti-particle），以及预言了两个新的基本过程——电子-正电子对的产生和湮灭的过程。连狄拉克自己后来都说，这个方程比他更聪明（The equation had been smarter than he was）。

杨振宁曾经在《美与物理学》^[1]一文中也惊叹地说：

（狄拉克）方程是惊天动地的成就，是划时代的里程碑：它对原子结构及分子结构都给予了新的层面和新的极准确的了解。没有这个方程，就没有今天的原子、分子物理学与化学。没有狄拉克引进的观念，就不会有今天医院里通用的核磁共振成像（MRI）技术，不过此项技术实在只是狄拉克方程的一项极小的应用。

狄拉克方程“无中生有、石破天惊”地指出为什么电子有“自旋”（spin），而且为什么“自旋角动量”是1／2而不是整数。初次了解此中奥妙的人都无法不惊叹其为“神来之笔”，是别人无法想到的妙算。当时最负盛名的海森伯看了狄拉克的文章，无法了解狄拉克怎么会想出此神来之笔，于1928年5月3日给泡利写了一封信描述了他的烦恼：“为了不持续地被狄拉克所烦扰，我换了一个题目做，得到了一些成果。”

狄拉克根据自己所经历的这场思想波折，潜心思索其中的经验和教训。

由于狄拉克在构建电子波动方程的过程中，在本质上使用的是数学方法，从而导出了惊人的物理结论，因此他特别提出了“数学美原理”。也就是说，狄拉克亲身感受到他的方程比他自己还聪明，因此他认为数学具有一种内在的美是其中的根本原因。正因为数学具有这种内在美，所以数学方程一旦被提出来以后，就根据自己的内在规律向前发展，超过科学家本人的预计和能力。

1939年应该是狄拉克大力发展他的数学美原理的一年，这年他在《数学和物理学的关系》（The Relation between Mathematics and Phys-ics）一文中详细地阐述了物理学中数学美的关系。他认为在科学研究中如果将数学推理方法和经验归纳法作一个比较，那么数学推理更加重要，因为“数学推理方法能够使人们推导出尚未做过的实验结果”。如果有人问数学推理方法何以有如此惊人的功能呢？这是一个至今任何人也回答不了的问题，狄拉克也只能够回答说：

这必须归因于自然界的某种数学性质，这是观察自然界因果关系的人不会怀疑的一种性质，然而它在自然界的图示中起着重要的作用。

这种状况可以描述为：在数学家的游戏中，数学家自己发明规则，而在物理学家的游戏中，规则却是自然界提供的。但随着时间的流逝，这种情况就变得更明显了：数学家感到有趣的规则正好就是自然界所选择的规则。

他还给理论物理学家以如下建议：

研究工作者在他致力于用数学形式表示自然界时，应该主要追求数学美。他还应该把简单性附属于美而加以考虑……通常的情况是，简单性的要求和美的要求是相同的，但在它们发生冲突的地方，后者更为重要。

狄拉克1956年访问莫斯科大学时，他遵照这所大学的传统，在黑板上题词并永久地保存下来。他在黑板上写的是：

“A physical law must possess mathematical beauty．”（一个物理学定律必须具有数学美。）

1963年在都柏林发表的拉莫尔演讲中，狄拉克对爱尔兰的伟大的数学家哈密顿大加赞颂：

我们应当沿着哈密顿的足迹前进，把数学美作为我们的指引灯塔，去建立一些有意义的理论——首先它们得具备数学美。

1982年在庆祝狄拉克80寿辰的时候，他发表了一篇标题为《美妙的数学》（Pretty Mathematics）的文章。克劳在他的《狄拉克：科学和人生》一书中对这篇文章这样写道：

这在理论物理学杂志中是个非常罕见的题目，但它典型反映了狄拉克的个人倾向。显然他不仅仅为数学美而数学美。狄拉克毕竟是一位物理学家，而且他坚信，数学美的方法将导致真正的物理学，导致最终能被证实的结果。他认为，实际情况一定会是这样的，因为自然恰好是按照数学美原理来构造的。

还有一次他在哈佛大学演讲时对研究生们说：

学物理的人用不着对物理方程的意义太操心，只要关心物理方程的美。

当时在场的物理系教授听了，担心学生都去模仿狄拉克，那可就麻烦了，因此会场上教授们开始窃窃私语。但是狄拉克却丝毫没有觉得有言过其实的意思。

1939年狄拉克说：

人们也许可以说，上帝是一个非常高明的数学家，他在建造宇宙时用了非常高级的数学。

这已经到了形而上的领域。为什么会引出上帝呢？因为科学家已经没有办法理解这里面的奥妙。很多物理学家只要讨论到这儿，就没有办法继续讨论下去。于是就像俗话所说“戏不够，神仙凑”一样，只好用上帝说事。

狄拉克（左）和费曼在1962年华沙引力会议会间休息时讨论问题

方程为什么比科学家还聪明，杨振宁说这恐怕是一个永远也弄不清楚的问题。所以我们也只好说到这儿为止。如果读者还想深究这个问题，也许还可以看看《物理学之美》^[2]一书。