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我们已经改造了数学，下一步是改造物理学，再往下就是化学。

“物理学还得由物理学家来干。”这不是废话吗？物理学不由物理学家来干，那由谁来干呀？且慢，事情往往就是有一些离奇，因为这句话是由鼎鼎大名的德国数学家大卫·希尔伯特（1862—1943年）说的。是吗？为什么？往下看。

在19世纪末、20世纪初，德国文化名城哥廷根有一位世界闻名的大数学家，他叫希尔伯特。希尔伯特到底有多伟大呢？有一本由女作家康斯坦丝·瑞德写的希尔伯特的传记上是这么说的：

如果要问：“谁是现代最伟大的物理学家？”有一定文化知识的人将脱口而出：“爱因斯坦！”如果再问：“谁是能同爱因斯坦地位相当的最伟大的数学家？”正确的回答应该是：“希尔伯特！”

由上面这一段话，我们就可以知道希尔伯特在20世纪数学界执牛耳的地位了。

如同德国其他数学大师一样，他继承了德国数学界的优良传统，在发展和推进数学理论的同时，还非常关心物理学的进展。希尔伯特的传记作者瑞德认为，希尔伯特在1912年（也就是他50岁的时候）“成了一位物理学家”，那时他颇有点自负地说：

那言下之意是物理学得由他们数学家来干，否则甭想向前发展！因此他信心十足地说：

我们已经改造了数学，下一步是改造物理学，再往下就是化学。

据说化学更不在他眼中，认为它只不过是“女子中学里的烹调课程”！

但事过十年，即到了1922年，“希尔伯特不再是一个物理学家了”。为什么呢？因为他发觉物理学并不如他十年前想的那样简单，他只得叹气说：

看来，越俎代庖、包打天下的事总不会成功的。下面我们来看看这个越俎代庖的故事吧。

正当希尔伯特在数学领域天马行空、大展宏图的时候，物理学也正在发生翻天覆地般的巨大变化。1895年，德国慕尼黑大学教授伦琴发现了X射线——希尔伯特认为现代物理学的新纪元就是从这时开始的；1896年，法国物理学家贝克勒尔发现放射性；1897年，英国的J．J．汤姆逊发现电子……这一系列的发现，严重地冲击着经典物理学中传统的物理思想，物理学面临严重的危机，理论上一片混乱。到了20世纪降临人间之际，在1900年，德国的普朗克提出了量子理论；1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论。短短的十年里，物理学里伟大的发现真是如雨后春笋一样让人目不暇接。希尔伯特曾欣喜若狂地说：

这期间任何一项发现都是了不起的，同过去那些成就相比毫不逊色！

希尔伯特不仅仅是惊叹，他还直接参与了物理学的革命进程。最让人惊叹的是他和爱因斯坦几乎同时到达了广义相对论的目的地。爱因斯坦于1915年11月11日和25日向柏林科学院提交了两篇广义相对论的论文；而希尔伯特几乎同时（11月20日）向哥廷根皇家协会提交了他的“物理学基础”的第一份报告，也涉及广义相对论的许多内容。他们两人用的方法不同，爱因斯坦的数学知识欠缺，因而用的是一种迂回的、更能体现物理学家思路的方法；而希尔伯特则用完全不同的、更直接的也更能体现数学家思维特点的方法。

为了这件事，爱因斯坦还以为希尔伯特在恶意地抢夺他的功劳，两人之间差一点就要为优先权发生可悲的争斗。这是因为爱因斯坦在此前到哥廷根作过几次演讲，讲了自己对于广义相对论研究的一些结果。希尔伯特听了爱因斯坦的演讲后，出于好奇，他决定自己也来研究爱因斯坦场论中的数学方程，看能不能比爱因斯坦先得到合适的方程。爱因斯坦的研究这时已经处于最后的数学处理阶段，但是希尔伯特的数学水平绝对高于爱因斯坦。结果希尔伯特走在了前面。爱因斯坦知道以后，想到自己七八年来所花费的心血，所经历炼狱般的痛苦，眼看大功告成却来了一个抢夺果实的外来人！他的内心的痛苦可以想象。他把希尔伯特看成是一个恶意抢夺的人，在1915年给朋友章格的信中写出自己内心的极度痛苦和悲愤：

广义相对论问题现在已经获得最终解决。水星近日点运动将通过理论得到完美的解决。

……这理论之完美真是无可比拟。不过，只有一位同行真正理解了它，并试图以巧妙的方式“吃掉它”。而在我自己的经验中，几乎从来没有哪一次像这个理论似的，让我有机会更好地体验到世人之可悲以及伴随着出现的人情冷暖。然而对此我并不在意。

“不在意”似乎并不是真心话。4天以后的11月30日，他又在给贝索的信中写道：

你很快就会收到我的论文集。现在问题算是彻底解决了（广义协变性问题）。在这件事情上，同行们的表现是要多难看就有多难看。如果我讲给你听，你肯定会乐坏了。

幸亏希尔伯特没有与爱因斯坦一争高下的想法，他只是怀着好奇的心理试一试自己能够在爱因斯坦的理论中走多远而已。他在他的论文发表时明确指出，爱因斯坦是广义相对论唯一的创造者，还开玩笑地说：

关于四维几何，哥廷根大街上的每一个孩子都比爱因斯坦知道得多，然而尽管如此，做出这项工作的是爱因斯坦，而不是数学家们。

于是爱因斯坦和希尔伯特重归于好，这年12月20日，爱因斯坦给希尔伯特写信说：

我感谢您友好地通知我当选为通信会员之事。我还急于借此机会告诉您另外一件我觉得比较重要的事情。

在你我之间曾经出现过某种不和谐的状况——其原因我并不想加以分析。我同与此相连的痛苦情绪进行了一番搏斗，并取得了完全的成功。我又回忆起你们那种纯洁无瑕的和蔼可亲，请您尽量也给我这种待遇好吗？客观而言，如果两个从这个衰败破落的世界搞出了一点儿东西的真正的男子汉不是彼此给对方带来快乐，那就太遗憾了。

为什么爱因斯坦对他们之间出现的矛盾“不想加以分析”呢？细心的人只要仔细想一想，这一“分析”将使爱因斯坦非常尴尬，他几乎很难出口。

此后，他们继续定期通信交流思想，并且计划为天文学家弗伦德里希安排工作。到了1916年的2月，爱因斯坦甚至再次访问了哥廷根，住在希尔伯特家。一场科学优先权之争的悲剧差一点在他们之间发生。

有一次，希尔伯特在一次演讲中还诙谐地说：

爱因斯坦能够提出当代关于空间与时间的最富有创造性和最深刻的观点，你们知道为什么吗？因为他没有学过任何关于空间和时间的哲学和数学！

这虽说是一个玩笑，但也反映了希尔伯特思想深层的一些想法。他感到在各种发现风起云涌之时，物理学家似乎有些茫然：物理学里明显缺了一种秩序，不像数学那样让人赏心悦目。有这种看法的当然不止希尔伯特一人，例如还有一位数学家说：

哥廷根数学研究所。在20世纪40年代以前，这儿是全世界数学家朝圣的圣地

在理论物理讲演中，我们常常会遇到这样或那样未经证明的原则，以及由这些原则推出的各种命题和结论，每当这样的时候，我们数学家总是感到很不舒服。它常常迫使我们思考：这些互不相同的原则究竟是否相容？它们之间究竟有什么关系？

正是基于这种原因，艺高人胆大的希尔伯特想像数学那样，用公理化方法来改造物理学。也就是说，先应该选出某些基本的物理现象作为“公理”，然后由这几个公理出发，通过严密的数学演绎，推导出全部观测事实。这就像欧几里得几何学，从五个公理出发推演出全部几何定理一样。希尔伯特认为，实现这一宏伟计划的只能是数学家，而且就是他本人。物理学家不可能担此重任。

他不只这么想，而且立马干起来了。他经过研究和思考后，决定从气体运动论开始，因为他认为气体运动论与数学（概率论）结合得十分好，从这儿开始一定会大有收获。不过在进行“改造”工程中，希尔伯特认为“不可能单靠数学的力量来解决物理学问题”，他需要有物理助手。他向索末菲要人，索末菲以前当过希尔伯特的学生，当时已是闻名世界的物理学家了。索末菲应希尔伯特的要求，先后把自己最满意的学生爱瓦尔德、朗德、德拜等人送到哥廷根。他们的任务是全面阅读最新的物理学文献，然后再向希尔伯特和一些数学研究生报告。在这些物理学助手的帮助下，希尔伯特先后研究了分子运动论、热辐射和物质结构等物理学前沿中的问题。

希尔伯特是位小事糊涂、大事不糊涂的人。他从小就让双亲担心，因为他记忆东西非常困难。他的一位亲戚曾经回忆说：

“全家都认为他的脑子有点怪，她的母亲要帮他写作文，可是他却能给他的老师讲解数学问题。家里没有一个人真正了解他。”

希尔伯特当了教授后也是这样。有一次他认为他的助手大卫·赫克的工资太低，决定去柏林找文化部长交涉这件事。可是当他谈完其他事务后，却一时记不起来还有件什么事必须对部长说。于是把他那光光的脑袋伸到窗外，向在楼下等他的夫人喀娣喊叫：

部长见状大吃一惊。也许这一惊，倒使部长爽快地同意给赫克涨一倍工资。希尔伯特高兴得光头大泛红光。

还有一件事，也很能说明他的性格。1914年8月，德国悍然发动战争，占领了西边小国比利时。全世界知名知识界人士莫不表示愤慨。德国政府为了证明其行动是正义的，让德国一批最著名的科学家、艺术家们发表了一个臭名昭著的《告文明世界书》，它开头的第一句话就是：

简直是欲盖弥彰，谎言连篇，真乃不知天下有羞耻之事！但奇怪的是，许多德国著名科学家、艺术家在上面签了字，其中包括普朗克、能斯特、伦琴、维恩、克莱因等共93人。但爱因斯坦和希尔伯特没有签名。爱因斯坦因为同时是一位瑞士公民，问题还不严重。但希尔伯特却是道地的德国人！于是大家都鄙视他，称他为“卖国贼”，连许多学生都不听他的课，以表示抗议。

但是不久之后，普朗克、克莱因……都为自己的签名后悔不已，认识到他们由于冒失，犯下了不可饶恕的错误，留下了永远抹不掉的耻辱印记。

好了，闲话似乎扯多了，还是言归正传，来讲希尔伯特“改造”物理学的壮举吧！在爱瓦尔德的帮助下，希尔伯特逐渐了解了物理学研究的热点。他决定研究辐射理论。我们知道，辐射理论是当时最困扰物理学家的一个难题，普朗克、维恩和爱因斯坦等大师级物理学家都对它进行过深入研究。虽说普朗克提出了量子理论，想用以摆脱困境，而且取得了可观的效果，但是却又引起了更大的混乱和疑惑。希尔伯特自然会关注这方面的研究，并认为这个问题有可能建立在人们能够接受的数学基础之上。

爱因斯坦在柏林的书房里。爱因斯坦和希尔伯特两人拒绝在93人《告文明世界书》上签名

1912年，他从若干物理概念出发，建立了几个积分方程，而且推导出了辐射理论的几个基本定理，并为这些定理奠定了公理化的基础。这些成绩无疑使希尔伯特感到高兴，认为他这是为物理学公理化统一提供了一个模式。

爱瓦尔德离开哥廷根以后，索末菲又推荐他的研究生朗德做希尔伯特的助手。这时希尔伯特开始瞩目于物质结构，如电子理论。希尔伯特这时想出了一个更好使用物理助手的绝招，他把一大沓最近发表的物理学论文让朗德去读，并让他挑出有意义的东西向自己报告。朗德开始真觉得苦不堪言，他曾在回忆中写道：

各种各样的课题，固体物理、光谱学、流体力学、热学和电学，凡是他能到手的论文我都要读，然后挑出我认为有意义的文章向他报告。

不过，这样苦了一段时间以后，朗德觉得自己颇有长进，他高兴地感谢起希尔伯特的“苦苦相逼”，说：

这确实是我的科学生涯的开端，要不是希尔伯特，我也许一辈子也不会阅读这么多论文，更不用说去消化吸收它们了。当你必须给别人讲解一个课题时，自己首先就应该真正理解这个课题，并能用自己的语言来表述。

希尔伯特听朗德的讲解，难道他只是听吗？那你猜错了。希尔伯特这样聪明绝顶的数学家对他的“老师”来说可绝对不是一盏省油的灯，当他的“老师”也绝不会好受。朗德回忆说：

他可不是一个好教的学生，在他理解一个问题以前，我必须重复好几遍。他喜欢复述我告诉他的东西，但却是用一种更系统、更清楚、更简单的方式。有时我们碰头以后，他马上安排一次讲演，内容就是我们刚讨论的课题。我记得我们常常肩并肩地从他的住地韦伯街步行去讲演厅。在这步行的最后几分钟里，我还在向他解释有关的问题。然后，他就试着到课堂上去讲我对他讲的东西，当然用的是他的方式。这是一种数学家的方式，与物理学家的表达方式迥然不同。

希尔伯特雄心勃勃地向物理学进军，他要让物理学家开开眼界。尤其是当他成功地用数学家的方法得出几乎与爱因斯坦相同的广义相对论以后，他的雄心和洋洋得意恐怕已经不仅仅深藏在内心，而是有些溢于言表了吧。至少爱因斯坦已经感受到哥廷根数学家那份沾沾自喜的气息了。有一次，爱因斯坦略带讽刺地开玩笑说：

哥廷根的人有时给我的印象很深，就好像他们不是想要帮助别人把某些事情解释清楚，而只是想证明他们比我们这些物理学家聪明得多。

当1915年颁发第三次鲍耶奖时，希尔伯特推荐爱因斯坦。你知道希尔伯特为什么要推荐爱因斯坦得这个数学奖吗？原来希尔伯特看中的不是爱因斯坦相对论中深刻的物理思想，而是“他的一切成就中所体现的高度的数学精神”。

但希尔伯特改造物理的雄心壮志和他那份沾沾自喜并没有延续太久。到1922年，他叹了一口气说：

不过这是希尔伯特自己这么说的。若论他对物理学的贡献，那也足以使他成为一个世界级一流物理大师；而且话说回来，数学家越俎代庖固然不可取，但数学家深邃的数学思想却往往对处在迷津中的物理学家有巨大的指导意义和启发作用。狄拉克曾指出过：

数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域内，它的力量是没有限制的。正因为这个缘故，关于新物理学的书如果不是纯粹描述实验工作的，就必须基本上是数学的。

狄拉克说的话太对了！希尔伯特越俎代庖虽未成功，但有一次却着实让他开怀地大笑起来。这次大笑正好印证了狄拉克的这句话。

1925年到1926年，在物理学界出现了一件“怪事”，使几乎所有的物理学家都倍感困惑。一件什么样的怪事呢？原来当时世界上最顶尖的物理学家都在集中精力思考电子到底如何运动。他们都发现，想利用经典物理学的办法去克服探索中的困难，无异于像唐·吉诃德用他那支破矛去攻击坚实的磨坊风车一样，是注定会落个头破血流、遍体鳞伤的。一批年轻的物理学家如玻恩、海森伯、泡利等人，都越来越倾向于相信物理学的基础必须从根本上改变，应该建立起一种新的力学，即“量子力学”。这个新的名词是德国物理学家玻恩（1882—1970，1954年获得诺贝尔物理学奖）在1924年发表于德国《物理杂志》上一篇文章中首次提出的。但量子力学到底是什么样的呢？当时谁也不清楚。

为了新力学的诞生，物理学家们真可谓废寝忘食、呕心沥血。1925年春天，两位对量子力学将作出重大贡献的物理学家都病倒了。一位是海森伯，另一位是薛定谔。海森伯被枯草热（花粉症）折磨得无法工作，他的导师玻恩破例给他放了假，还建议他到地处北海的赫尔果兰岛上去休息，那儿怪石嶙峋，大约不会有什么花粉折磨他。恰好这时薛定谔也因肺病而到阿尔卑斯山上宁静的阿罗扎木村休养。一个在岛上，一个在山上，都想远离喧嚣的城市和自己的同事，让自己的头脑清醒一下，以便再次投入紧张的思考。美国作家梭罗说得好：

德国物理学家海森伯。他由于建立矩阵力学而获得1932年诺贝尔物理学奖

太阳，风雨，夏天，冬天——大自然的不可描写的纯洁和恩惠，它们永远提供这么多的健康，这么多的欢乐！

宁静而清新的北海和阿尔卑斯山，它们不仅为两位物理学家带来了健康、欢乐，而且还奇异地诱发了他们的灵感，使他们的思想得到了升华。于是，“奇迹”降临了。我们说是奇迹实在并不夸张，因为他们两人几乎从完全对立的概念出发（海森伯把电子看成是粒子，薛定谔把电子看成是波），得到了各自伟大的方程；而且他们两人的方程在表观上完全对立，但又都能自如地解释微观粒子的运动！天下还有比这更奇迹的奇迹吗？

海森伯认为，量子的不连续性是最本质的现实，以这一思想为基点，他认为描述微观粒子运动的力学应该像爱因斯坦建立相对论那样，以“可观测量”作为基点，不可观测的量如轨迹等不予考虑。但是，牛顿力学一直是以考虑连续量为己任，用的是微积分；现在考虑的对象是不连续的量，那么该使用什么样的数学工具才行呢？海森伯当时只有24岁，真可谓“明知山有虎，偏向虎山行”，“落在鬼手里，不怕见阎王”！他决定自己去闯出一条路，寻找适当的数学形式和方法来描述微观粒子运动。他的数学老师玻恩曾惊叹地说：

这个外行虽然不知道适合他的用途的数学分支，可是一旦需要，他就能给自己创建适用的数学方法。这个外行该有多好的天赋啊！

有一天晚上，他用他发明的方法计算到凌晨3点钟。奇迹出现了！他终于发现自己很可能取得了突破性的进展。他后来回忆这天凌晨的激动情形时说：

一天晚上，我就要确定能量表中的各项，也就是我们今天所说的能量矩阵，用的是现在人们会认为是很笨拙的计算方法。计算出来的第一项与能量守恒原理相当吻合。我十分兴奋，而后犯了一些错误。但后来在凌晨3点钟的时候，计算的结果都能满足能量守恒原理，于是，我不再怀疑我所计算的那种量子力学具有数学上的连贯性与一致性了。我感到极度惊讶，我已经透过原子现象的外表，看到了异常美丽的内部结构。当我想到大自然如此慷慨地将珍贵的数学结构展现在我眼前时，我几乎陶醉了。我太兴奋了，以致不能入睡。天刚蒙蒙亮，我就走到了这个岛的南端。以前我一直向往着在这里爬上一块突出于大海之中的岩石，我现在没有任何困难地攀登上去了，并等待着太阳的升起。

但是海森伯心中有一团没有解开的疑团，让他“非常不安”。这是因为在他的数学方案中，将两个可观测量（如频率、强度……）A和B相乘时，A、B不能交换，即AB≠BA。这显然与我们熟知的乘法交换律不符（如2×3＝3×2），这点“异常”几乎使海森伯丧失了信心。他没有料到，正是在AB≠BA中潜藏着微观世界中极为重要的一个规律。

幸亏后来玻恩知道了，并告诉海森伯，他用的数学方法在数学中称“矩阵代数”。于是在玻恩的帮助下，海森伯终于建立起微观世界的力学——矩阵力学。

正在这时又出了一件“怪事”。在阿尔卑斯山上恢复了健康和清醒了头脑的薛定谔，在强调微观粒子波动性（波动性强调的连续性）的基础上，提出了鼎鼎大名的“薛定谔方程”。这是一个描述波动的微分方程，借助于这个方程，薛定谔也成功地描述了微观粒子的运动。由于波动方程是物理学家十分熟悉的数学工具，而且薛定谔方程强调的是连续性思想，这使得绝大部分物理学家感到欣慰和振奋，甚至认为物理学终于得救，从此不再需要那些不连续性的劳什子了！薛定谔的波动力学万岁！

1926年春天，海森伯得知薛定谔的波动方程后极度震惊和困惑。为什么两人对同一事物看法会如此不同呢？打个比方说，面对同一景色，在海森伯看来是险峰峭壁（量子跃迁），而薛定谔看到的却是起伏平缓的丘陵地（物质波）。其实这并不奇怪，正如中国著名诗人苏轼的一首诗：

可惜海森伯、薛定谔都未能参悟这种天机，不懂横看和侧看，却各执一端，相互攻击对方的理论。海森伯写信给薛定谔说：

我越是思考你那理论的物理意义，我越感到对你的理论不满，甚至感到厌恶。

薛定谔则毫不留情地回敬说：

当物理学界都感到莫衷一是、极度迷惘时，当薛定谔和海森伯两人相互指责、争论不休时，在哥廷根的希尔伯特却颇有几分自得地哈哈大笑起来，并且调侃地说：

你们这些物理学家呀，谁让你们不听我的话？早听了我的话，岂不省却了如今这场麻烦吗？

玻恩和海森伯听了这句话不由倒抽几口凉气，而且后悔不迭；但其他人听了却莫名其妙，还以为希尔伯特又在卖弄玄机，故作惊人之语。因为希尔伯特有种业余的小爱好，那就是说些没来由的话让人稀里糊涂，找不着北。

那么，为什么玻恩和海森伯两人又会后悔不迭呢？原来当矩阵力学刚刚由海森伯提出来的时候，他们两人曾专门向希尔伯特请教过有关矩阵代数运算方面的问题。希尔伯特是大数学家，曾对矩阵代数有过专门研究。他说：

根据我的经验，每当我在计算中遇到矩阵时，它们多半是作为波动微分方程的特征值出现的。因此，你们那个矩阵也应该对应一个波动方程，你们如果找到了那个波动方程，矩阵也许就很容易对付了。

遗憾的是，这两位物理学家都犯了一个致命的错误，那就是他们没有认真听取希尔伯特的劝告，去找出“那个与矩阵对应的波动方程”，还以为希尔伯特根本不懂量子力学，在那儿故弄玄虚。结果，让薛定谔找到了这个波动方程，薛定谔还因此获得了1933年的诺贝尔物理学奖。如果他们两人虚心一点，认真向希尔伯特深入讨教一下，详细了解一下希尔伯特的数学思想，那么，在物理学中薛定谔方程就可能不会出现，出现的将是“玻恩-海森伯方程”了，而且还会早半年出现。这就难怪希尔伯特看见物理学家们那副吃惊而窘迫的模样时，不由得开怀地哈哈大笑起来！

《史记·淮阴侯列传》中有一句成语：愚者千虑，必有一得。

希尔伯特是智者，他的思想玻恩和海森伯都不去重视，那么失去这样一个重大发现的宝贵机会也真是活该了。

德国物理学家玻恩（前面坐者），他曾经在希尔伯特手下当过物理学助手（像朗德一样）；后面左二为尼尔斯·玻尔

不过这句成语只是后一半，它的全部是：智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得。

这说明智者说的话有时也不可全听，要有分析和批判的态度；玻恩和海森伯这一次印证的是这句成语的前一半。

到底该用哪一半才能恰到好处呢？答曰：这是缘分，天机不可泄露。