5.2　折射棱镜

由含有两个或两个以上相交的折（反）射平面所组成的透明介质元件称为棱镜。棱镜通常分为折射棱镜、反射棱镜和偏光棱镜。依靠折射作用使光线偏折的棱镜称为折射棱镜；由于一束白光经折射棱镜后，可被分解为各种颜色的连续光谱，故又称其为色散棱镜。因此，折射棱镜具有两个基本性质，即偏向性与色散性。

图5.4（a）是折射棱镜的立体示意图，两个工作面是折射平面，显然它们是非共轴的。两个折射面的交线称为折射棱；两个相邻折射面的夹角α称为折射棱镜的折射棱角；垂直于折射棱的平面（如ABC）称为主截面。

折射棱镜的主要作用之一，是使通过它的光线的进行方向相对于原来的方向发生偏折。为了简便，我们只研究光线在主截面（ABC）内的偏折情况（主截面外的折射情况涉及空间光线计算）。显然，折射光线偏离原来入射光线方向的角度即偏向角δ是其主要特征量。

图5.4　折射棱镜

如图5.4（b）所示，入射光线SP₁经位于空气中的棱镜折射后，沿P₂S＇方向射出，出射光线P₂S＇相对于入射光线SP₁的夹角称为偏向角，以δ表示。设棱镜介质的折射率为n；入射光线SP₁在AB面上的入射角和折射角分别为I₁和I₁＇，在AC面上为I₂和I₂＇，其符号规则同以前；偏向角δ由入射光线方向按锐角转至出射光线方向，顺时针为正，逆时针为负。下面导出偏向角δ的函数表达式，由图（b）中几何关系，应有

α=I₁＇－I₂　　　　　　　　　　　　　　　（5.15）

δ=（I₁－I₁＇）+（I₂－I₂＇）=I₁－（I₁＇－I₂）－I₂＇　　　　　　　（5.16）

将式（5.15）代入式（5.16），得到

δ=I₁－I₂＇－α　　　　　　　　　　　　（5.17）

在两折射面上运用折射定律sinI₁=nsinI₁＇，sinI₂＇=nsinI₂，则应有

将式（5.18）代入式（5.17），则得到偏角公式：

运用三角函数和差化积公式，也可以用另种方法得到偏角公式的隐函数形式：

图5.5　折射棱镜的δ～I₁函数曲线

由式（5.19）和式（5.20）可以看出，偏向角δ是n、α及入射角I₁的函数。当一束单色光通过一个给定的折射棱镜时（即n、α确定），则光线的偏向角δ只是在第一个面上的入射角I₁的函数。图5.5画出了将式（5.19）应用于n=1.5，α=60°的一个典型折射棱镜的δ～I₁函数曲线。由图看出，δ～I₁曲线存在极小值δ_m，称为最小偏向角。在实际应用中，δ_m具有重要意义。为此，需求出产生最小偏向角的条件。

对式（5.19）取微分，并令dδ/dI₁=0，则可用解析方法确定δ_m；也可采用另一种比较简单的间接方法，将式（5.17）对I₁取微分，并令其等于零，此即最小偏向角的必要条件：，即有

在两个折射面上分别对折射定律取微分，得到

cosI₁dI₁=ncosI₁＇dI₁＇，　　cosI₂＇dI₂＇=ncosI₂dI₂

将上两式相除，并注意到对式（5.15）取微分，应有dI₂=dI₁＇，将其代入，则得到

注意到（5.21）式，可得到偏向角取极值δ_m的具体条件：，又由折射定律，应有（为常数），要使上述二式同时成立，参照图5.4中的符号关系，必应有：

I₁=－I₂＇，I₁＇=－I₂　　　　　　　　　　（5.23）

进一步可以证明，当时。因此，在极值点处偏向角δ应为极小值δ_min。这意味着当光线的光路对称地穿过棱镜（即棱镜第一面上的入射角等于第二面上的折射角）时，偏向角取极值δ_m。

将式（5.23）代入式（5.15）和式（5.17），则得到在最小偏向角条件下的如下关系式：

对式（5.24）运用折射定律，应有

上式表明，折射棱镜的最小偏向角δ_m是结构参数n、α的函数，对确定的棱镜结构，δ_m值是一定的。式（5.25）又可以写为

上式是一种精确测定透明介质折射率方法的理论基础。将待测玻璃制成棱镜，折射棱角α一般磨成60°左右，利用单色光和测角仪，可精确测定α和某一波长单色光通过该折射棱镜的最小偏向角δ_m，代入式（5.26）即可算出每一所需波长（λ）上的折射率n（λ）。这就是测定折射率的最小偏向角法。

折射棱镜更主要的用途是作为色散元件，应用于光谱仪器中。这是基于色散是折射棱镜的基本特性。由式（5.19）看出，偏向角δ是玻璃折射率的函数，折射率越大，则偏向角越大；而折射率n是波长λ的函数（参见1.2节中折射率与色散的概念）。因此，偏向角δ是波长λ的函数，可以表为δ（λ）。这样，具有同一入射角I₁的一束复合色光（例如白光），通过折射棱镜后，其中不同波长的色光将具有不同的偏向角，因而在空间上被分解为由各种色光组成的连续光谱，这种现象即为棱镜的色散。故此，折射棱镜又称为分光棱镜。对实际应用的大多数透明介质，在可见光波段，折射率n随着波长的增大而减小（如图1.11所示）。因此，偏向角δ也随着波长的增大而减小，即紫光的偏向角最大，而红光的偏向角最小，如图5.6所示。棱镜色散的度量是以角色散宽度来表示，即不同波长的两种光线（λ₁和λ₂）以相同的入射角射于棱镜第一面时，在棱镜第二面上出射光线的角度间隔，可以表示为

Δδ=δ_λ2－δ_λ1=ΔI₂＇　　　　　　　　（5.27）

其中，λ₁和λ₂取可见（或工作）光谱区两边缘波长，即紫光h（λ₁=4047）和红光A＇（λ₂= 7665）；也可取某两个元素谱线的波长。例如，由重火石玻璃ZF₁（n_D=1.6475，ν=33.9）制成的α= 60°的棱镜，在最小偏向角下，对λ₁=4047和λ₂= 7000的光线，给出的角色散为4°23＇。对c光线和F光线给出约2°的角色散；而对ZF3（n_D=1.7172，ν=29.5）玻璃的棱镜，α=60°，从λ₁=4047到λ₂=7000，其角色散为6°19＇。

图5.6　折射棱镜的色散特性

折射棱镜的色散能力通常以角色散率表示，它在数值上等于单位波长差的两色光在空间上分开的角度，这个角度随不同偏向角而异。为近似地了解棱镜的角色散率，我们只讨论棱镜对处于最小偏向角的光线的角色散率。将式（5.25）对波长取微分，得到

整理有：

上式中：n为棱镜介质对于最小偏向角光线的折射率；为棱镜介质在该光线所对应的波长附近的色散率。

式（5.28）表明，棱镜折射率n、棱角α和色散率越大，则棱镜的角色散越大。

图5.7　棱镜光谱仪的分光系统

利用棱镜作色散系统的光谱仪器，称为棱镜光谱仪。如图5.7所示为常用的棱镜光谱仪分光系统的光路图。被研究的白光（或复合光）照射位于准直物镜L₁物方焦面上的狭缝S（狭缝的方向垂直于图平面），经物镜L₁出射平行光束；色散棱镜将白光的平行光束分解为各种偏向角的平行色光；物镜L₂将这些不同方向的平行色光在其焦面上按波长的顺序聚焦成一系列单色的狭缝像，以供观察或拍摄。这就是目前广泛应用的棱镜光谱仪分光系统的基本原理。从成像的角度考虑，可以认为，狭长的光缝（物体）经由物镜L₁、色散棱镜和物镜L₂所组成的成像系统，成像在其像面上。应该指出，在分光系统中，色散棱镜工作于平行光路中，这是其重要特点之一，因为在这种光路中可以得到无像差的像。

在棱镜光谱仪中，如果棱镜后面是用照相物镜和感光板进行拍照，则该光谱仪称为摄谱仪；如果棱镜后是用望远镜观察光谱，则称该光谱仪为看谱仪或分光镜；若在棱镜后先以望远物镜将光谱呈现在其焦面上，然后在该焦面上放置另一狭缝，以分离出某一波长光提供单色光源，则称这种光谱仪为单色仪。

三棱镜是最简单的分光棱镜，应用十分广泛。由式（5.28）可以看出，为增加三棱镜的角色散率即提高其色散能力，应增大折射率n、折射棱角α、以及材料的色散率。因此，尽量采用折射率高、色散率高的重火石玻璃（例如，α=60°的火石玻璃棱镜，n_D=1.61，其c和F二色线的角宽度Δδ=1°30＇；又n_D=1.65，Δδ=1°56＇；重火石玻璃n_D=1.746，Δδ=3°）；另外，增大α可以提高色散率，但是α的增大受到全反射定律的约束，根据不同光学材料和所需的工作光谱范围，一般棱镜α为60°～67°。上述增加棱镜角色散率的效果是有限的，实际上为得到大的光谱色散，可以采用多个60°三棱镜的组合系统。随着光谱仪器用途的发展，出现了多种类型的光谱棱镜。下面介绍几种比较典型的光谱棱镜。

（1）Amici直视棱镜

所谓“直视”棱镜是指白光中的某一中间波长光线（例如D或F线）经过棱镜后不偏折，即偏向角为零，其它较大和较小波长的光线离开这中间光线向两个方向偏折，这种分光棱镜组称为直视棱镜组。显然，直视棱镜光谱的中心处在仪器的视准线上。

图5.8　Amici直视棱镜

由三个棱镜组成的Amici直视棱镜如图5.8所示。中间的棱镜Ⅱ由重火石玻璃制成，两边的棱镜Ⅰ和Ⅲ采用同样的冕玻璃。如结构参数为：n₁=n₃= 1.51813，n₂=1.80969，α₁=α₃=90°，α₂= 98°27＇，可获得c光线和F光线角色散的宽度为4°20＇。

从图中的两条光线可以看出，光线2是能通过棱镜的最低光线，为避免光线2以下的光线在底面上反射后对光谱清晰度产生影响，将棱镜Ⅰ和Ⅲ的下角切掉，并将切去的表面涂黑漆。要进一步增大色散率，还可采用五个三棱镜胶合成的直视棱镜，其缺点是光在棱镜组中损失太大。

（2）Pellin－Broca恒偏向角散棱镜（见图5.9）

这是一种重要的光谱棱镜，在很多可见光的棱镜光谱仪中尤其是单色仪中经常被采用。这种棱镜虽然是一块玻璃，但从图中的角度关系可以将其视为由三块棱镜组成，即两块空间方位相互垂直的30°分光棱镜Ⅰ和Ⅲ以及一块等腰直角反射棱镜Ⅱ。Ⅰ和Ⅲ可以看成是由一块60°分光棱镜分裂而成，它们起分光作用，决定Pellin-Broca棱镜的色散本领；Ⅱ只起反光作用，而不起分光作用。

图5.9　恒偏向色散棱镜

根据上述分析，在图示位置，假设有一条波长为λ₁的单色光线是处于最小偏向角的工作状态，则经过棱镜内部时，该光线应分别平行于Ⅰ和Ⅲ的底边。这样，应有∠P₁MP₂=90°，且I₁=I₂＇，I₁＇=I₂。从入射光线SP₁到出射光线P₂S＇，其偏向角应为

δ_m=（I₁－I₁＇）+90°+（I₂－I₂＇）=90°

上式表明，按上述几何关系构成的棱镜，其最小偏向角与入射角I₁无关，因而与波长无关，即无论何种波长的光线其最小偏向角恒为90°。例如图5.9表示波长为λ₁的光线，沿SP₁方向入射，处于最小偏向角的工作状态，经棱镜后沿P₂S＇方向出射。此时，其余波长的光线在AD面上沿其它方向射出；若沿SP₁方向放置由狭缝和准直物镜所组成的平行光管，而在与其垂直的P₂S＇方向放置观察望远镜，则当棱镜绕垂直于图平面的轴线转过微小角度后，入射光束中将有一条新的波长为λ₂的光线，以新的入射角处于最小偏向角的工作状态，并且出射光线仍沿P₂S＇射出。依次类推，在入射光束方向SP₁不变的情况下，转动棱镜，即可在与SP₁垂直的P₂S＇方向（即望远镜的视场中心），依次地观察到每个特定波长的谱线。由于Pellin—Broca棱镜对任意波长的光线其最小偏向角恒为90°，故称其为恒偏向色散棱镜。这种装置经过校准，可以使棱镜的旋转度盘直接按波长刻度。这种棱镜之所以特别适用于单色仪，是由于它满足平行光管与观察望远镜不需转动这一主要工作条件的要求。单色仪与一般光谱仪相似，可把复合光分解为单色光；而且在物镜L₂的焦面上还有第二狭缝，用以分离出单色光束。

类似地，还有60°的恒偏向色散棱镜，称为阿贝棱镜。

最后，为使对折射棱镜这类光学元件的认识深化一步，再概括指出如下几点：

（1）折射棱镜与通常的共轴系统不同，它是没有对称轴的一类光组，因此它具有和共轴光组根本不同的一些特性，特别是没有像存在，至少没有共轴系统理论中所研究的那种像存在。

（2）折射棱镜具有一个对称平面，这个对称平面就是垂直于棱边并通过棱镜前方或后方共轴系统线的平面。

（3）光谱棱镜与共轴光组的重要区别在于，不存在与棱镜所有表面均垂直的光线。因此，折射棱镜不存在近轴区域，因而高斯光学对其不适用。