1.3　费马原理

以上几何光学的基本定律是从光线角度研究光的传播规律；费马原理则是从“光程”角度阐述光的传播规律。费马原理的含意深刻，它并非一种具体计算方法，而是对光的传播规律的简明而高度的概括，因此它对光学的物理学思想的发展，曾产生过重要的影响。

费马原理所要回答的问题是：光从空间的一点A到另一点B，不论中间的介质情况如何，将沿着怎样的路径传播?

早在两千年以前，希罗在关于反射定律的表述中，即曾断言：由一点A发出的光线经由反射面反射到达另一点B，所通过的是空间最短的路程。

1657年费马发展了希罗的观点：提出了著名的“最小时间原理”或“最短光程原理”，作为光传播的普遍规律加以表述：光在两点间实际所走的路径（光线），是以最短时间通过的一条路径。

然而上述费马原理的表述形式还有缺点和局限性，不能完全概括光传播的各种现象，需要加以修正。为了建立近代费马原理严密完整的表述形式，首先要建立“光程”的概念。

“光程”是指光在介质中经过的几何路程l与该介质折射率n的乘积，表为

s=nl　　　　　　　　　　　　　　　（1.13）

由于，l=vt代入上式，有

s=nl=ct　　　　　　　　　　　　　　　（1.14）

表明，光在某种介质中的光程，就等于在同一时间t内在真空中所走过的路程。因此，又可称光程为光线的折合路程。

若光线连续通过多种介质（例如由m层不同介质所组成的材料，光线在其中是由m段直线所组成的折线），其光程应为：

式中n_i、l_i分别为第i层介质中的折射率与路程。

如果光从A点到B点，所通过的是折射率连续变化的非均匀介质，即n是位置的函数，则光实际所走过的路径l将为一空间（或平面）曲线，其对应的光程由如下的积分定义：

如果在A、B两点间，邻近实际光线l，再任意找一条几何上可能的路线l＇，作为比较曲线，则显然对应于不同的光程值：

表明，由上述积分所定义的光程，是A、B两点间路径（空间或平面曲线）的函数，即光程是依赖于路径的泛函。

费马原理指出，实际光线所走过的路径，是光程取极值的一条路径。因此，也曾称费马原理为“极端光程原理”。

近年来，费马原理的表述形式，更多地以“稳定值”（或“平稳值”）取代“极值”的说法。可以表述为：光线从空间任意一点A到另一点B，不论所经过的介质情况如何，总是沿着光程为稳定值的一条路径进行。

若以数学形式表示，比较曲线l＇与实际光线l上对应的光程增量为：

其中，泛函（光程）增量的线性主部，即泛函的变分为：

式中，δ是变分符号，它与微分符号d类似，系指微小改变量。不同的是，这里的δs是指由于路径（函数）的微小改变（而非简单变量的改变），而引起的光程的微小增量中的线性部分，又称为一级变分。这样，费马原理用变分的语言来表述则为：

即泛函s的一级变分等于0，比较曲线l＇与实际光线l的光程差仅为二级以上的小量。

根据光程函数s的二级变分的正负，可以确定实际光线的光程究竟是极小值（这是多数情况）还是极大值，亦或其它稳定值。

费马原理可以看成是几何光学基本定律的推论，即从前者得到证明；反之，几何光学基本定律也可看成是费马原理的推论，即从费马原理可以导出光的直线传播定律、反射定律与折射定律。还可证明，实际光线的光程取稳定值的各种情况是客观存在的。

1）从费马原理导出反射定律

如图1.21所示，A点发出的光线，投射到光滑平面MN上的O点，经反射到达B点。假定光线所经介质是均匀的，其折射率为n。投射点O到A点在反射面上的垂足C距离为x。

从A点到B点，光线的光程长度为：

显然，光程s是变量x的函数。根据费马原理，实际光线的光程是稳定的，在均匀介质中，即其一阶导数为零，此即nsinI=nsin（－I_r），亦即I=－I_r。

由上导出反射定律，进而可证明，因而满足反射定律的光线具有最短光程。

2）从费马原理导出折射定律

如图1.22所示，由位于折射率为n₁的均匀介质中A点发出的光线，投射在界面上O点，并经折射到达折射率为n₂的均匀介质中B点。设投射点O至A的垂足C点的距离为x。则应有从A点到B点，光线的光程为：

图1.21　费马原理导出反射定律

图1.22　费马原理导出折射定律

光程s是变量x的函数，根据费马原理应有：

，由此可导出：

n₁sinI₁=n₂sinI₂。

此即导出折射定律，同样可证，即满足折射定律的光线亦具有最短光程。

由于光线在折射率连续变化介质中的传播也受折射定律的支配，故费马原理对光线在任意介质中的传播也是适用的。

以上分析的平面反射和折射，体现了光程平稳、取最小值的情况（最短光程）。

3）光程取平稳值的其它几种情况

图1.23　光程取平稳值的其它几种情况

此外，还可分析光程取平稳值的其它几种情况：位于旋转椭球内某一焦点上发光点发出的光线，经椭球面上任意点反射后将到达另一焦点，其光程为常数。因而，旋转椭球内反射面对焦点F₁、F₂来说，是“等光程面”（见图1.23（a））；而由两焦点发出的光线经旋转椭球面上Q点反射的光程，相对于Q点内切曲面M₁N₁上其它任意点R的反射，具有光程极大值；相对于Q点外切曲面M₂N₂或平面M₃N₃上其它任意点的反射，则具有光程极小值（见图1.23（b））。