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在序数效用论下，无差异曲线是表达消费者偏好的重要工具，也是分析消费者行为有效方法。无差异曲线代表对消费者能产生同等满足程度的各种不同商品或服务组合的点的轨迹。这一曲线可以按下述方法得到：

首先，假设消费者在两种商品或服务(X和Y商品)之间进行选择，当然这种假定可以扩展到有任意多种商品或服务。通常的做法是将我们集中研究的一种商品或服务看作X商品，把余下的其他所有商品或服务看作另一种商品Y，即一种由多种商品或服务形成的合成商品。更简便的一种办法是把余下的商品或服务看作是价格为1的货币。例如，消费者面临50种商品或服务时，以X₁、X₂、X₃、X₄、…、X_n表示，实际分析时，可将X₁看作是一种商品，其余的n－1种商品看作是一种合成商品，或者看作是消费者除支付X₁商品外余下的货币量。

其次，给定消费者一种商品或服务的组合(X₁，Y₁)，稍微增加一点X商品到

，并稍微减少一点Y商品的量到

，由消费者确定

组合与(X₁，Y₁)组合相比更喜欢哪一个。如果消费者更喜欢

)，则调低其中的X和/或Y商品的数量，这是因为根据单调性的性质，如果这时不减少Y的数量，消费者的满足程度会比组合(X₁，Y₁)更高。直到最终调整得到一个组合(X₂，Y₂)，使得这一组合与(X₁，Y₁)组合相比，消费者感到是无差异的，这样，我们就可以首先找到一个与(X₁，Y₁)组合无差异的组合(X₂，Y₂)。

再次，将上述过程继续进行下去，我们就可以找到许多个与(X₁，Y₁)相比是无差异的，但数量组合又不同于(X₁，Y₁)组合的X和Y商品组合。

接下来，我们将这些组合描到以X商品为横轴，Y商品为纵轴的坐标系中，可以得到如图4.1所示的一条无差异曲线的示意图。

例如，某消费者对两种商品X和Y满足程度无差异的数量组合，如表4.1所示。

将上述数据描到同一个坐标系中，可得该消费者的一条无差异曲线，如图4.2所示。

2.无差异曲线的性质

在无差异曲线I上，商品X和Y的所有组合所产生的效用或带给消费者的满足程度都是一样的，即任意一点上表示的商品组合对消费者而言都是无差异的，消费者愿意接受这一条曲线表示的任意一种组合。无差异曲线具有如下几个重要的特征：

(1)无差异曲线向右下方倾斜。由于无差异曲线上任意一点所表示的效用都是一样的，沿着无差异曲线从上向下移动时，X商品的消费量逐渐增加，当X商品的量增加时，如果Y商品的消费量不变化，则消费者将得到更高的满足，所以，为了保证是沿着同一条无差异曲线移动，在增加X商品的消费量时必须减少Y商品的消费量，从而X商品量的变化与Y商品量的变化呈反方向变动，因此，无差异曲线必然是向右下方倾斜的。

(2)无差异曲线凸向原点。这一性质表明，沿着无差异曲线从上向下移动时，随着X商品量的逐渐增加，为保持效用水平或满足程度不变，消费者愿意放弃的Y商品的数量越来越小(X商品等量增加)。这是因为，随着X商品数量的增加，消费者拥有了越来越多的X商品，X商品的稀缺程度逐渐下降，而Y商品由于数量逐渐减少，其稀缺程度越来越大，这种稀缺程度的变化意味着X和Y商品的相对重要程度发生了变化，由此，无差异曲线凸向原点。关于这一性质下面还将介绍边际替代率的概念。

(3)对同一个消费者而言，无差异曲线有无数多条，并充满整个坐标系的第一象限。按前面推导无差异曲线的步骤，当我们在X商品(或Y商品)数量保持不变的情况下，增加Y商品(或X商品)的数量，消费者将得到更高的满足程度或效用水平，以此为基准，又可以找到与之效用无差异的无穷多种组合，这样又形成了另一条效用水平更高的无差异曲线。同理，当商品数量可以无限细分的情况下，照此方法可以找到无穷多条无差异曲线，这些无差异曲线充满坐标系的第一象限。顺便说明一下，这里之所以充满第一象限，仅仅是因为我们研究的是经济问题，X和Y的商品量为非负实数。

(4)任意两条无差异曲线不会相交。根据无差异曲线的定义可知，每一条无差异曲线都代表消费者可以获得的一定满足程度，对应于任一商品组合，要么与另一组合无差异，要么劣于另一组合，要么优于另一组合，不会出现既优于，又劣于另一组合的情形，否则会出现矛盾，违反理性消费者的假定。对此，可用反证法来证明，如图4.3所示。

在图4.3中，假设两条无差异曲线I₁和I₂相交于a点，在I₁上任取不同于a点的一点b，由于a点和b点处于同一条无差异曲线上，因此有a～b，即a与b无差异。在I₂上任取不同于a点的一点c，由于a点和c点处于同一条无差异曲线上，因此又有a～c，根据偏好的传递性假设，可得b～c，即b点和c点是无差异的，这与b点和c点处于两条不同的无差异曲线上相矛盾，所以任意两条无差异曲线不会相交。

在无差异曲线的基本性质中，我们提到无差异曲线是凸向原点的，这一性质与商品或服务的边际替代率有关。边际替代率(marginal rate of substitution，MRS)是指消费者为了保持同等的效用水平，要增加1单位X商品的消费而必须放弃的Y商品的数量。用ΔX表示X商品的变化量，ΔY表示Y商品的变化量，其定义式为：

在上面的定义式中，添加了一个负号，这是因为X商品的变化方向与Y商品的变化方向是相反的，添加负号可以将其转化为正值，便于应用和叙述。商品或服务的边际替代率还可以用前面提出的边际效用概念表示。由于沿着同一条无差异曲线移动时，效用水平不变，这样，增加X商品的消费量会提高效用水平(效用增加ΔX·MU x)，而减少Y商品的消费量会减少效用水平(效用减少ΔY·MU_y)，要保持效用水平不变，两者的净效应为零，即：

与无差异曲线凸向原点相对应，商品或服务的边际替代率是递减的如图4.4所示。原因是当消费者拥有相对于Y较少的X时，他们愿意放弃较多的Y去增加每单位X，反之，当他们拥有相对于X较少的Y时，他们仅会放弃较少的Y去增加每单位的X。

从数学的角度来说，边际替代率实际上就是无差异曲线在该点的斜率，求一条曲线的斜率，可以作一条过该点的切线，切线的斜率就是曲线在该点的斜率。从边际替代率的定义式中可得，当ΔX趋近于零时，ΔY/ΔX趋向于一个极限值，即：

有一点需要注意，一般情况下，商品或服务的边际替代率是递减的，无差异曲线是凸向原点的。但在一些特殊情况下，边际替代率可能为常数或者为零或者为无穷大。当消费者面对的是两种完全替代品时，如人们喜爱程度相仿的软饮料———可口可乐和百事可乐，这时的无差异曲线就是一条直线，边际替代率就是该直线的斜率，是一个常数。当消费者面对的是两种完全互补品时，一个极端的例子是左鞋和右鞋，一只左鞋和一只右鞋才能配成一双，这时的无差异曲线就是一条1∶1的折线，即当只有一只左鞋时，无论有多少双右鞋，也只有一双鞋。这条拐折的无差异曲线的水平部分的边际替代率为零，而垂直部分的边际替代率则为无穷大。

4.无差异曲线图

由于每一条无差异曲线代表消费者的一种满足水平，不同的满足水平或效用水平就由不同的无差异曲线来表示，如果某条无差异曲线越靠近原点，其所代表的效用水平越低，越远离原点则代表更高的效用水平。这样在坐标系的第一象限充满了无差异曲线，称之为无差异曲线族。通过描绘一个消费者的无差异曲线图就反映了该消费者的偏好状况，图4.5画出了甲乙两个消费者的无差异曲线图(图中分别只画出了四条无差异曲线)。