第九节　关于二群体生态方程之解的极限环

二群体的一对耦合方程

dy／dt＝P（x，y）

dx／dt＝Q（x，y）

根据其中的各个系数的取值不同，以及群体y及其食物量x二者的最小值与最大值不同，项目的增减不同，可以得出很多解；其轨迹曲线有些绕奇点向外盘旋，有些向内盘旋，有些趋向临界状态。

在本章第五节中，我们讨论奇点性质的定理时，在xy平面上可以有两条相轨迹，一条由外绕奇点向内盘旋，另一条也可以由内绕奇点向外盘旋。这就在二者之间可能存在一条封闭曲线，这也就是通常微分方程中所称谓的极限环。

从理论上分析，二群体各种生态方程之解的轨迹曲线，可能在极限环内盘旋而逐渐靠近它或远离它。也可能有轨迹曲线在极限环外盘旋，逐渐远离它或靠近它。这就使物种的进化与绝灭问题有可能讨论得更具体更精确。然而不管相轨迹的初始情况怎样，一个唯一的、稳定的、非阻尼的振荡解会建立起来。关于这方面的研究，有兴趣的读者可以参阅May（1971）与Gilpin（1971）的著作。

关于人口问题与物种的预测研究显然是非常复杂的，其方程式的求解与数值运算，以及根据大量观察的统计资料与数据，对很多生态常量的推断，目前大都借用计算机。事实上，一个物种群体y所需要的食物并不只是一个物种群体x，应该是n个x，即x₁，x₂，…，x_n。另外，捕食物种y的捕食者也不只是一个物种群体z，可能是m个z，即z₁，z₂，……，z_m。因此，对于y我们有下列综合生态方程。

在一个生态系统中，如果要考虑的物种y共有w个，那就导致一组w个联立微分方程

式中的k＝1，2，……，w；下标ik表示x物种的第i个群体与y物种的第k个群体之间的联系；下标jk表示z物种的第j个群体与y物种的第k个群体之间的联系。一个物种的进化而最终能生存下来，必然与许多其它物种相关而互相作用，这就涉及到上述下标的必要性。这样一来，问题就更加复杂，因此需要借用计算技术来处理这一组数学模型。这是研究物种进化的重要方法之一，很多生态数学家正向这方面努力。

上述数学方法对于研究巨系统中的许多子系统之间的相互作用，是有参考价值的。