第五节　确定奇点性质的定理

根据第四节中的关系式dy／dx＝P／Q，我们可以引进下列积分式

这是矢量（Q，—P）沿封闭曲线C的积分等于偏导数（aQ／a＋ap／ay）沿面积A的积分，也就是众所周知的格林定理。实际上，这

个定理意味矢量（Q，—P）沿封闭曲线所作的功。众所周知，在物理学中力矢量沿封闭曲线一周所作之功为零。

现在我们假设相轨迹是封闭的，则左边为零，因而右边也是为零，即被积函数为零（aQ／ax＋aP／ay＝0），从而有ay／ax＝－aP／aQ。这就是本笛克逊（Bendixson）于1901年提出的关于奇点性质的定理。

如果相轨迹是盘旋的，也可以得到一条封闭路径，方法是：相轨迹从特征线P（x，y）＝0上的起点1按反时针方向围绕奇点Z旋转，横过特征曲线Q（x，y）＝0，到达P（x，y）＝0上的终点2，再沿P（x，y）＝0返回起点1，这就形成一根向外盘旋的封闭曲线（左图）；同理尚有一根向内盘旋的封闭曲线（右图）。

矢量沿这样封闭曲线所作的功决定于起点与终点之间的距离；在此段距离中，只有Q对dy作功，而dx＝0，故Pdx＝0，于是上面的积分式变为

根据相轨迹向内或向外盘旋的图形来看，上面求积分的公式又可叙述如下：如果沿特征线P（x，y）＝0上的起点与终点的积分式，其左边的积分是负的（如上面右图中的1—2线段上的积分方向）则右边的积分也应是负的，相轨迹向内盘旋，其解是稳定的。反之，如果左边的积分是正的（如上面左图中的1—2线段上的积分方向），则右边的积分也应是正，相轨迹向外盘旋，其解是不稳定的。

回忆第三节中有最小值x₀与y₀的生态方程，我们有

P＝hx（y－y₀）－ky

Q＝a（x－x₀）－bxy

对此二式求导数，我们有下列被积函数

于是

如果a－by＋hx－k＞0，则相轨迹向外盘旋，其解不稳定；反之，其解稳定，即食者人数与食物量维持平衡状态。看来要维持食者人数与食物量的稳态平衡，在于选用a、b、h、k四个常数，以资调节。

以上关于生态方程在奇点附近的展开，围绕奇点的相轨迹性质，以及确定奇点性质的定理说明一个非常重要的问题，那就是轨迹曲线由外向内盘旋，意味能量凝聚；轨迹曲线由内向外盘旋，意味能量发散。二者合抱象征易经中的太极理论，也就是人文生态学中关于生命诞生于旋涡的一种观点。实际上，奇点类似于太极图中阴阳未动的中心点。