1.5.2　计算机中数的表示方法

数按不同的标准可以分为正数、负数、零；整数、小数；定点数、浮点数。

1．正负数的表示方法

平时我们用符号“＋”表示正，用符号”－”表示负，在计算机中数的符号通常用一个数的最高位来表示，称之为符号位。一般规定符号位用“0”表示正数，用“1”表示负数。例如：

十进制数+56在字长为八位计算机中表示为：

十进制数-56在字长为八位计算机中表示为：

这种符号位用0，1表示的二进制数，称为机器数。而其实际数值（如＋56，－56）称为机器数的真值。

机器数与我们平时所用的数区别在于：

l）机器数用二进制表示，平时所用数为十进制。

2）机器数的符号位用0与1表示正负，平时所用数用＋、－来表示正负。

3）数位的长短，机器数受到计算机字长的限制，一般为8位，16位，32位，64位等；而平时所用数不受此限制。

2．定点数与浮点数的表示方法

对任意数N，凡小数点固定不变的表示方法称为定点表示法，凡小数点可以左右移动的表示法称为浮点表示法。

例：十进制数123.456是定点表示法，而1.23456×10²为浮点表示法。浮点表示法还可以将该数表示为0.123456×10³等其他形式。

一般地讲，任意一个数都可以表示为：

　　　　　　N=S×R^j

式中：S称为N的尾数。尾数决定数的有效值。尾数的正负决定了整个数的正负。R是数制的基数。j是N的阶码。阶码决定小数点的位置。阶码为正，小数点应往右移，阶码为负，小数点应往左移。当尾数不变，阶码加一，意味小数点向右移动了一位，该数是原数的R倍。

例：(0.101)₂×2³=(101)₂

　　(0.101)₂×2²=(10.1)₂

　　(101)₂是(10.1)₂的2倍。

人们将采用定点表示法表示数的计算机称为定点计算机。在定点计算机中，定点整数的小数点固定在有效值尾。基本格式为

如果计算机字长为8位，能够表示的定点整数范围为:

即　+127～－127之间

对定点小数，定点计算机把小数点固定在数符之后，有效值之前。基本格式为：

数 0.1010在字长为8位的定点计算机中表示为

定点计算机表示数的范围受到很大的限制，容易产生“溢出”或影响计算精度，故计算机多采用浮点表示法来表示数。

浮点数在计算机中由四部分组成，即阶符、阶码、数符、尾数。基本格式为：

其中，阶符、数符占一位，0为正，1为负。阶码和尾数的位数由计算机的字长和精度要求而定。当计算机的字长一定时，精度要求越高，尾数的位数就越多，此时，阶码的位数就越少，所表示数的范围就越小；反之，表示数的范围越大，阶码占位多，尾数占位少，表示的数精度就差。

例：在16位计算机中，有效值要求10位，请写出(320)₁₀在计算机中的表示形式。

首先，将(320)₁₀用除2取整法转换成二进制为101000000。

　　101000000=0.101000000×2⁹=0.101000000×2¹⁰⁰¹

故可以表示为：

请特别注意：

1）小数点的位置应在数符之后，这是人为规定的。

2）当数的位数不够时，应加0占位，注意占位0的位置。

如：101.11=00101.1100≠10100.0011

例：请计算0111101111111111在字长为16位，计算精度为10位的浮点微机中所表示的十进制值。

首先，划分出阶符、阶码、数符、尾数

写成二进制为0.1111111111×2¹¹¹¹=0.1111111111×2¹⁵=111111111100000

用按权展开式转换成十进制数(111111111100000)₂=(32736)₁₀

故：0111101111111111在字长为16位，计算精度为10位的浮点微机中所表示的十进制值为32736。

3．原码、反码与补码

在计算机进行数据运算的过程中，机器数还使用原码、反码和补码表示法。标记为(N)_原、(N)反、(N)补。对任意数N，当N>0时原码，反码，补码是同一形式。当N<0时，反码为原码的各位取反（符号位除外），补码为原码的各位取反（符号位除外）加1。

例：写出字长为8位的计算机中，数100110和数-100110的原码、反码和补码。

数100110在字长为8的计算机中，其原码、反码和补码都为00100110。

数-100110在字长为8的计算机中，其原码为10100110，反码为11011001，补码为11011010。

对字长为8位的计算机，用8位二进制来表示有符号整数原码时，其表示范围：最大值为01111111，其真值为(127)₁₀；最小值为11l1l111，其真值为(-127)₁₀。在原码表示法中，对0有两种表示形式(+0)_原=00000000，(-0)_原=10000000。

对字长为8位的计算机，用8位二进制来表示有符号整数补码时，最大为01111111，其真值为(127)₁₀；最小为10000000，其真值为(-128)₁₀。在补码表示法中，0只有一种表示形式。因为(+0)_补=00000000，(-0)_补=11111111+1=00000000（由于受设备字长的限制，最后的进位丢失，称为溢出），所以有(+0)_补=(-0)_补=00000000。