第一节　球面三角之基本公式

所有实用天文学之问题，均可由解算天球面上之球面三角形而获得答案。故首先说明球面三角之基本公式。

图7－1中之ABC为一球面三角形，a，b，c为其三边，O为球之中心。连接OA，OB，OC，并在OC上取任意一点P，由P作PQ垂直于OA，作PR垂直于OB。在AOB平面内作QS垂直于OA，作RS垂直于OB，二者相交于S。连接PS。因PQS与PRS两平面均垂直于AOB平面，故其交线PS必垂直于AOB平面，即

图7－1

　　　　　　　　　∠PSQ＝∠PSR＝90°

其次由图可见　　　　　　　∠PQS＝A

　　　　　　　　　　　　　∠PRS＝B

　　　　　　　　　　　　　∠POR＝a

　　　　　　　　　　　　　∠POQ＝b

　　　　　　　　　　　　　∠QOR＝c

又由图　　　　　PS＝PQsin A＝OPsin b sin A

或　　　　　　　PS＝PRsin B＝OPsin asin B

两式右方相等　　　　sin b sin A＝sin asin B　　　　　　　（1）

是为正弦公式

兹将AOB平面上各点之关系以图7－2明之。自Q作Q T垂直于OR，得

OR＝OQ　cos c＋QS　sin c

或

OP　cos a＝OP　cos b cos c＋OP　sin b cos A　sin c

消去OP得

cos a＝cos b cos c＋sin b sin c cos A（2）

是为余弦公式。

图7－2

再由图7－2 RS＝OQsin c－QScos c

或OPsin acos B＝OPcos b sin c－OPsin b cos Acos c

消去OP得sin acos B＝cos b sin c－sin b cos c cos A（3）式（3）如双方用式（1）除之，又可书为：

sin Acot B＝cot b sin c－cos c cos A（3＊）

名为余切公式。

以上（1）、（2）、（3）及（3^＊）为球面三角之基本公式。每式中交换a，b，c之关系，又可各书成三种形式。

此外尚有半角公式，亦为实用天文所常用者。兹引证如下：余弦公式（2）中cos A可按三角函数关系变为

代入式（2）得

或

但三角函数中有一公式为

用于前式左方即得

命

代入前式，可书为

或

（4）

是为半角正弦公式。

倘将余弦公式（2）中之cos A用下式代入

并依上述同样方法约化，即得半角余弦公式

以式（5）除式（4），又可得半角正切公式