3．4．2　PN码

二进制序列是指序列的元素只有两个取值｛0，1｝或｛＋1，－1｝。根据其自相关和互相关特性的不同又可分为准正交序列、狭义正交序列等。其中，准正交序列相关函数的旁瓣与主瓣的比值较小，但并不为零，较为典型的有m／M序列和Gold序列。

m序列又称伪随机序列或PN序列，它是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，其自相关特性与白噪声的自相关特性类似，而且又可再生，因此常被用作扩频通信的扩频码。m序列发生器是由移位寄存器、线性反馈逻辑和模2加法器组成的。周期为P＝2ⁿ－1的m序列可以由n级线性反馈移位寄存器（LFSR）产生。图3．14为一个3级的m序列发生器。

模2加运算规则如表3．3所示。

图3．14　3级m序列发生器

表3．3　模2加运算规则

以3级m序列发生器为例，列出各输出端的输出序列如表3．4所示。

表3．4　各输出端的输出序列

可以看出，它具有以下三个特性：

（1）平衡特性，即每个周期序列中有2n个1，（2n－1）个0。

（2）游程特性，在一个序列中连续出现的相同码称为一个游程，连码的个数称为游程的长度。一个m序列中共有（2n－1）个游程：长度为R（1≤R≤n－2）的游程数占游程总数的1／2R；长度为n－1的游程只有1个，且是连0码；长度为n的游程也只有1个，且是连1码。

（3）相关特性，设周期为P的m序列a＝（a₀，a₁，…，a_k，…，a_P－1），其中第k个元素a_k∈｛＋1，－1｝，则周期ACF为由式（3．8）可见，ACF的主瓣（x＝0，±P，±2P，…）为P，旁瓣为－1，旁瓣的绝对值与主瓣的比值为1／P。例如，周期为P＝7的m序列a＝（－1，－1，－1，＋1，－1，＋1，＋1）的自相关函数如图3．15所示。

图3．15　m序列a的自相关函数（P＝7）

图3．16　7级M序列发生器

如果反馈逻辑中的运算包含乘法运算或其他的非线性逻辑运算，则称为非线性反馈逻辑。由非线性反馈逻辑和移位寄存器构成的序列发生器所能产生的最大长度序列，叫做最大长度非线性移位寄存器序列，简称M序列。若移位寄存器的级数为n，则M序列的最大长度是2n。图3．16中给出一个7级的M序列发生器。可以看出，与线性反馈逻辑不同之处在于增加了“与门”运算，而“与门”具有乘法的性质。

一对同周期的m序列的互相关函数存在较大峰值。虽然可以在m序列中筛选出互相关函数峰值比较小的优选序列对，但是这样的优选序列对的个数太少。为克服这些问题，R·Gold提出了一种基于m序列的PN码序列，称为Gold码序列，其周期互相关特性比m序列好。在介绍Gold码序列发生器之前，先给出优选对的概念。如果有两个m序列，它们的互相关函数的绝对值有界，且满足以下条件则称这一对m序列为优选对。如果把两个m序列发生器产生的优选对序列作模2加运算，循环改变两个优选对的相对移位而生成的新的码序列即为Gold序列。

如图3．17所示为Gold码发生器的原理结构图。

图3．17　Gold码发生器的原理结构图

Gold码序列的性质主要有以下三点：

（1）Gold码序列的互相关函数是个三值函数｛－1，－t（n），t（n）－2｝

（2）两个m序列优选对不同移位相加产生的新序列都是Gold序列。因为总共有（2n－1）个不同的相对位移，加上原来的两个m序列本身，所以，两个n级移位寄存器可以产生（2n＋1）个Gold序列。因此，Gold序列的序列数比m序列数多得多。

（3）Gold序列的互相关峰值和主瓣与旁瓣之比都比m序列小得多。这一特性在实现码分多址时非常有用。

基本的PN码序列互相关性都不够好，因此，实际的CDMA系统中常选用自相关性好的PN码作为扩频码，而另外选择互相关性好的编码作为地址码，最常用的就是Walsh码。