“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机

勾股定理是我们大家非常熟悉的定理，在西方常常被称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派是古希腊最古老的哲学学派之一，同时它在数学上也有很多贡献，最重要的贡献之一就是发现了直角三角形三边关系的毕氏定理，据说当时他们为庆祝这一伟大的发现，杀了100条牛来庆贺，所以毕氏定理又称为“百牛定理”。

毕达哥拉斯学派是一个唯心主义流派，他们认为“万物皆数”，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。这种观点虽然没有错，但是他们对数与宇宙之间的关系的理解是狭隘的，他们认为宇宙的本质是数的和谐，具体地说，就是指宇宙的一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。毕达哥拉斯学派的成员深信自己的这种信念是正确的，并试图以“天体在运动时所发出的声音”的“和谐”来解释天体的运动。

但是，毕达哥拉斯学派的这一信条不幸由于其成员希帕索斯的一个发现而遭到毁灭性的打击。传说，在一次海上航行的过程中，希帕索斯发现，根据勾股定理，等腰直角三角形的直角边与斜边的长度之比不能表示成整数之比。显然，按照毕达哥拉斯学派的信念，这样的线段是不可能存在的。因此希帕索斯的发现被视为冒天下之大不韪，为此，希帕索斯被同伴们抛进大海。

实际上，希帕索斯的发现对我们来说并不陌生。设直角等腰三角形的直角边长为a，则斜边为，假设a:a=m:n(m，n均为整数且最大公约数为1)，那么，m=

∴m²=2n²，∴m²为偶数

因此m为偶数，设m=2p

则4p²=2n²

∴n²=2p²，因此，n也为偶数。

这样就与m、n互质相矛盾，因此等腰直角三角形的斜边与直角边之比不能表示成两个整数之比，我们称这样的两个线段为“不可公度”的线段。

“不可公度”线段的发现与原来的信念构成了矛盾，因而，在他们看来，“不可公度线段存在性”的证明就是一种悖论，人们称它为“毕达哥拉斯悖论”，因为所引起的矛盾是数学方面的矛盾，所以称之为“第一次数学危机”。

“危机”的产生，一方面暴露了人们对客观世界认识的片面性，另一方面也促进了数学的发展。数学家们意识到，直觉和经验不一定靠得住，而推理、证明才是可靠的。从此，希腊人开始从公理出发，经过逻辑推理，建立数学体系，欧氏几何公理体系正是这一伟大思想的产物。