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目前常用的FIR滤波器设计方法主要有两种，即窗函数设计法和频率采样法。两种方法分别从时域和频域上进行处理，从而得到想要的冲激响应。

5.2.1　窗函数设计法

窗函数设计法的原理一般是先给出所要求的理想滤波器频率响应H_d(e^jω)，要求设计一个FIR数字滤波器频率响应H(e^jω)来逼近H_d(e^jω)。先对H_d(e^jω)作傅里叶反变换，得到理想滤波器的冲激响应h_d(n)。我们知道，理想滤波器的冲激响应必定是无限长的，且是非因果的，而所要设计滤波器的冲激响应又是有限长的。因此，就要用一个有限长的h(n)来逼近无限长的h_d(n)。一个有效办法是用有限长的窗口序列w(n)对这个无限长序列h_d(n)进行截断，将其变成有限长的序列，即

因而窗函数序列的形状及长度的选择十分关键。我们以一个截止频率为ω_c，具有线性相位理想矩形幅度特性的低通滤波器为例来加以讨论。设低通特性的群延时为α，即

但是按照线性相位的约束，h(n)必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半

，因而必须有

，所以

此时，就一定满足线性相位特性的条件了。如果对窗函数进行进一步的讨论(参见［15］，第311～315页)，不难发现，一般希望窗函数应满足两项要求:

(1)窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带。

(2)尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，也就是使能量尽量集中于主瓣，这样可增大主瓣的衰减。

2．常用的几种窗口

矩形窗的函数表达式为

三角形窗的函数表达式为

(3)汉宁(Hanning)窗

汉宁窗又称升余弦窗，其函数表达式为

(4)海明(Hamming)窗

对升余弦加以改进，可得到旁瓣更小的效果。海明窗又称改进的升余弦窗，其函数表达式为

其图形如图5-6所示。主瓣宽度仍为

，但是旁瓣宽度更小，旁瓣小于主瓣峰值的1%。

(5)布拉克曼(Blacdman)窗

布拉克曼窗又称二阶升余弦窗，它对旁瓣进行了进一步的抑制，其函数表达式为

(6)凯泽窗(Kaiser)

凯泽窗是一种适应性较强的窗，其函数的表示式为

其中I₀(μ)是第一类变形零阶贝塞尔(Bessel)函数，可以表示成幂级数的形式:

β是一个可以自由选择的参数，可以同时调整主瓣宽度和旁瓣电平，β越大，则窗口越窄，旁瓣越小，但是主瓣宽度就会相应地增加。其图形如图5-8所示。

对于凯泽窗函数的设计，遵循以下几个步骤:

(1)给定所要求的频率响应函数H_d(e^iω)H_d(e^iω)。

(2)求h_d(n)= IDTFT(H_d(e^iω))。

(3)由过渡带宽及阻带最小带宽的要求，选定窗口的形状及n的大小。

(4)求得所设计的滤波器的单位样值响应h(n)= w(n)h_d(n)，n = 0，1， …， N－1。

(5)求H_d(e^iω)= DTFT(h(n))，检验是否满足系统要求，如果不满足，则需要重新设计。

下面介绍几个相关的MATLAB函数:

说明:MATLAB中用窗函数法来设计fir低通滤波器的函数，其中b为返回的单位样值响应，其长度为N，Wn为通带截止频率。

b = fir1(N， Wn， ’ high’)

说明:关键字’ high’表明设计的是高通滤波器，Wn为阻带截止频率。

当Wn为二维向量，并带上关键字’ bandpass’时，表示设计的是带通滤波器，当关键字为’ stop’时，表示设计的是带阻滤波器。

b = fir1(N， Wn， Win)

说明:该函数表示用向量Win作为窗函数设计滤波器。

表5-1列举了在MATLAB中以上窗口函数的生成函数。

例5．1　给定一理想低通FIR滤波器的频率特性:

分别用矩形窗和海明窗设计该滤波器，要求具有线性相位，系数长度为29，即N =29。

其滤波器如图5-9所示。

b为单位样值响应。

如果用海明窗进行设计，只需将上述程序第三行变为

对于Kaiser窗口比较特别，有专门的函数kaiserord来估计滤波器的一些参数，下面给出用Kaier窗函数设计滤波器的通用程序。

例5．2　用Kaier窗函数设计滤波器的通用程序:

输入:fpts =［0．3， 0．7］， mag =［1， 0］， dev =［0．01， 0．1］，可以得到滤波器如图5-10所示。

b即为此fir滤波器的系数向量。

程序中fpts是指从左到右的通带或阻带的截止频率，mag是指滤波器的幅度响应的范围，通常是一个二维向量，一般是［0， 1］，dev是对应通带或阻带的最大衰减或最小衰减。

N是Kaiser窗口的长度，Wn是对应通带或阻带的截止频率，beta是Kaiser窗中适合的β值，ftype是指此滤波器所属的类型。

5.2.2　频率采样法

窗函数是从时域出发，把理想的h_d(n)用一定开关的窗函数截取成有限长的h(n)，以此来近似逼近理想的h_d(n)。这样得到的频率响应H(e^iω)逼近于所要求的理想的频率响应H_d(e^iω)。

频率抽样法是从频域出发，把给定的理想频率响应H_d(e^iω)加以等间隔抽样，即

知道H(k)后，由DFT定义，可以用频域的这N个抽样值H(k)来唯一确定一个有限长序列h(n)。同样利用这N个抽样值可以得出这个序列的Z变换H(z)及其频率响应H(e^iω)。当h(n)是偶对称的，N为奇数时，可以将此频率响应函数写成(参见［16］，p．155～157):

若理想函数是线性相位的，可以得到(参见［16］，p．159～161):

对于第二类线性相位FIR滤波器，即h(n)偶对称，N为偶数时，其幅度函数是奇对称的，即

对H_d(e^iω)进行频率抽样，在z平面单位圆上的N个等间隔点上抽取频率响应值。有两种方法，第一种是第一抽样点在ω = 0处，第二种是第一抽样点

在ω =

处，每种情况又可以分为N为奇数和N为偶数两种。

下面介绍MATLAB中频率采样法所对应的函数:

b = fir2(N， F， A);

说明:N为采样的点数，F， A分别为频率采样法所采样的频率值和对应的幅值。

例5．3　设抽样的频率和对应的幅值为f =［0 0．4 0．4 1］，m =［1 1 0 0］，用频率抽样法设计FIR滤波器。

得到的滤波器如图5-11所示。

b1， b2就是两种情况下的单位样值响应。

例5．4　用频率采样法设计FIR滤波器:

得到的滤波器的图形如图5-12所示。

b是抽样点为11个的结果，b为所求得的单位样值响应。

MATLAB中的设计FIR滤波器的一些其他方法:

(1)Chebyshev最佳一致逼近设计FIR滤波器

格式:［N， Fo， Ao， W］= firpmord(f， a， dev， Fs)

说明:该函数设计FIR滤波器的一些参数估计。f是指通带或阻带的频率(Hz)，a是其对应的理想幅度值，dev是对应的衰减(dB)，Fs是抽样频率。N是序列长度，Fo和Ao是适合该FIR滤波器的频率和幅度向量，长度与f， a相等。

例5．5　用Chebyshev最佳一致逼近方法设计FIR滤波器。

通用MATLAB程序如下:

输入:fedge =［1500， 2000］，mval =［1， 0］，dev =［0．01， 0．1］，FT = 8000，得到的滤波器如图5-13所示。

(2)最小平方法设计线性相位FIR滤波器

格式:b = firls(N， F， A， W)

说明:该函数用最小平方法设计线性相位FIR滤波器。b为返回的单位样值，N是阶数，F， A的含义与fipmord中的f， a相同，W为权向量。

例5．6　用最小平方法设计FIR滤波器。

通用MATLAB程序如下:

输入:N =50，fpts =［0．3， 0．7］，mag =［1， 0］，wt =1，得到的滤波器如图5-14所示。

b为滤波器的系数向量。

例5．7　设计一个60阶的滤波器，要求设计的滤波器从0到

的幅度为1，从

到

的幅度为

，从

到

的幅度响应为

，从

到

的幅度响应为

，从

到π的幅度响应为

。画出理想滤波器和设计得到的滤波器的幅度频率响应并进行比较。

b为其滤波器Z变换的系数向量。

窗函数法和频率采样法都是FIR最基本的方法，此外MATLAB中还有最小平方误差法设计FIR滤波器，其函数为firls;带约束的最小平方误差FIR设计法，其函数为fircls;等等。这些方法比较复杂，在此就不再赘述，具体函数用法可以查阅MATLAB相关文档。

5.1　用矩形窗、三角形窗、海宁窗、海明窗、布莱克曼窗和凯塞-贝塞尔窗设计满足线性相位的FIR低通滤波器。设窗口长度N =11，3 dB截止频率是ω_c=0.2π rad/s。

5.2　用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器，逼近滤波器的频率响应H_d(e^jω)为

(1)求出该理想高通滤波器的单位抽样响应h_d(n)。

(2)写出矩形窗设计方法的h(n)的表达式，确定τ和N的关系。

(3)N的取值有什么限制?为什么?

5.3　分别用矩形窗、三角形窗、海宁窗、海明窗设计线性相位FIR数字低通滤波器，技术指标要求为