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平面立体的截交线是由直线组成的封闭多边形。多边形的每一条边是棱面与截平面的交线。因此，求平面立体的截交线就是求截平面与平面立体上各被截棱线的交点连线。

例6-1　求四棱柱的左视图，见图6-2。

分析：四棱柱被两个水平面截切，它们在主视图、左视图上的投影具有积聚性；被两个侧平面截切，它们在主视图、俯视图上的投影具有积聚性。根据截平面积聚性投影，可以求出截交线的侧面投影。截交线上的B、E两点在棱线上，可根据其水平投影的积聚性和正面投影求出其侧面投影b″、e″。由此，可以求出a″、c″、f″、d″，依次连接各点，即为所求。由于立体是对称的，求出截交线的1/4即可求出四棱柱的侧面投影。

解　作图步骤如下：

1）画出未切割前的四棱柱的左视图；

2）求出B、E两点的侧面投影b″、e″；

3）四棱柱截交线前后方向都具有对称性，可依照前半部视图画出后半部；

4）判断可见性，整理视图。

例6-2　画出被截切四棱台的三视图，见图6-3。

（a）轴测图；（b）四棱台三视图；（c）切口；（d）、（e）画图步骤

分析：在四棱台顶部切出一矩形槽，矩形槽的左右面分别是侧平面P、Q，底面是水平面S，P、Q在侧面的投影为一个反映实形的梯形，而在正面、水平面的投影则积聚成直线。由于平面S是水平面，所以在水平面上的投影为一个反映实形的矩形，而在正面、侧面的投影则积聚成平直线。可利用投影的积聚性画出被截切棱台的三视图。

解　作图步骤如下。

1）先画出完整的四棱台三视图，见图6-3（b）；然后画出切口的正面投影，即画出平面P、Q、S的正面投影p′、q′、s′，见图6-3（c）。

2）画出平面S的侧面投影s″，再按投影规律完成其在水平面的投影，见图6-3（d）。同时分别画出平面P、Q的水平投影p、q和侧面投影p″、q″。

3）检查、修改整理。

曲面立体的截交线一般是封闭的平面曲线，特殊状况时也可能是平面折线。截交线上的点都可看做是回转面的某一素线与截平面的交点。因此，选用辅助平面法或辅助素线法，求出曲面立体与截平面的交点，依次连接其同面投影即可求得截交线。

1.圆柱体的截交线

由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，所以圆柱体的截交线有三种不同的形状，见表6-1。

例6-3　求截平面斜切圆柱的截交线，见图6-4（a）。

分析：圆柱被正垂面截切，截交线为椭圆。椭圆的正面投影积聚为一条斜直线，水平投影重合在圆上，侧面投影为缩小的椭圆类似形。根据已知的正面投影和水平投影可求出截交线的侧面投影。

解　作图步骤如下。

1）求截交线上特殊位置点。截交线椭圆的长、短轴端点是特殊位置点，长轴的两个端点Ⅰ、Ⅱ分别是最低点和最高点，位于圆柱体的最左、最右素线上；短轴的两个端点Ⅲ、Ⅳ是最前点和最后点，位于圆柱体的最前、最后素线上。它们的水平投影和正面投影均已知，按投影关系可求出侧面投影1″、2″、3″、4″，见图6-4（b）。

2）求截交线上一般位置点。求出点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的侧面投影5″、6″、7″、8″，见图6-4（c）。

3）依次光滑连接1″、7″、3″、5″、2″、6″、4″、8″、1″，即为所求。

当截平面与圆柱体的轴线夹角为45°时，截交线仍为椭圆，在与截平面倾斜的投影面上的投影为圆。这是斜切圆柱体的截交线特例，见图6-5。

生产实践中往往比上述的用单一平面截切要复杂，但作图的基本原理、方法是一样的。图6-6所示是分别用两个平行于轴线和垂直于轴线的平面截切圆柱体。垂直于轴线的平面截切，截交线是圆的一部分；平行于轴线的平面截切，截交线是矩形。作图时求出与轴线平行的平面P、R的截交线，再求出与两轴线垂直的平面Q、S的截交线即可。

2.圆锥体的截交线

由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，所以圆锥体的截交线有五种不同的形状，见表6-2。

从表6-2中可以看出，第一种状况截交线为三角形，第二种状况截交线为圆。它们的截交线比较容易求出。而后三种状况的截交线均为非圆曲线，一般要用辅助平面法求出。

辅助平面法就是作一辅助平面与基本体和截平面相交，辅助平面与截平面的交点就是截交线上的点。

为了方便作图，辅助平面应是投影面平行面，它与基本体的交线应是直线或圆。如图6-7所示，作辅助平面Q，它与圆锥面的交线为圆K，与截平面P交于直线CD，圆K与直线CD的交点Ⅰ、Ⅱ，即是截交线上的点。

例6-4　求被正平面截切圆锥体的截交线，见图6-8。

分析：圆锥体被正平面P截切，截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为平直线，正面投影双曲线反映实形，是待求的，见图6-8（a）。

解　作图步骤如下。

1）求截交线上的特殊位置点。最高点Ⅲ的正面投影3′，可根据侧面投影的3″直接求出；最低点Ⅰ、Ⅴ的正面投影1′、5′可从水平投影1、5直接求出，见图6-8（b）。

2）求一般位置点。一般位置点要用辅助平面法求出。

对于本题，作辅助平面Q与圆锥相交得一圆，该圆的水平投影与截平面P的水平投影相交得Ⅱ、Ⅳ两点，它们是截交线上的两个点，它们的正面投影2′、4′可从水平投影2、4引线求出，见图6-8（c）。

3）光滑连接1′、2′、3′、4′、5′即为所求，见图6-8（d）。

（a）题目；（b）求特殊位置点；（c）求一般位置点；（d）完成后的三视图

例6-5　求被正垂面截切的圆锥体的截交线，见图6-9。

分析：由图6-9（a）可知，截平面P和圆锥体的全部素线相交，并且不平行与任一素线，故其截交线为一椭圆。截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为一斜直线。

解　作图步骤见图6-9（b）、（c）、（d）。此处不再详细叙述。

另外，也可用辅助素线法求圆锥体的截交线，见图6-10。作图步骤叙述从略。

3.圆球的截交线

圆球被任意平面截切，其截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影反映圆的实形，在其他两投影面上的投影都积聚为平直线，该直线的长度等于截切处圆的直径，此圆直径的大小与截平面至球心的距离b有关。图6-11所示为截平面是水平面的情况。

当截平面为投影面垂直面时，截交线在与截平面垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，在其他两投影面上的投影一般为椭圆。图6-12是一正垂面截切圆球，截交线的正面投影为直线1′2′，水平投影和侧面投影分别为椭圆。其作图步骤如下。

（a）题目；（b）求特殊位置点；（c）求一般位置点；（d）完成后的三视图

①求特殊位置点。投影为椭圆的长、短轴的端点分别为Ⅲ、Ⅳ和Ⅰ、Ⅱ，是特殊位置点。短轴的水平投影1、2和侧面投影点1″、2″可根据正面投影点1′、2′直接求得。长轴的水平投影34和侧面投影3″4″长度等于截交圆的直径的实长1′2′，也可以方便求出。由于Ⅶ、Ⅷ两点在球的直径上，也属特殊位置点。可由7′、8′求出7、8和7″、8″。

②利用辅助平面法求一般位置点。作水平辅助平面，由正面投影的5′、6′求出其水平投影5、6和侧面投影5″、6″。

③将各点的同面投影依次光滑连接。

4.同轴复合回转体的截交线

例6-6　求顶尖的截交线，见图6-13。

分析：顶尖被两个平面截切，一个是水平面，另一个是正垂面。水平面截切到了圆锥体和圆柱体，圆锥体的截交线是双曲线，圆柱体的截交线是两条素线，它们的正面、侧面投影均

具有积聚性，可以利用积聚性，求出其水平投影。正垂面截切圆柱体，截交线是椭圆的一部分，其正面、侧面投影已知，也可利用其投影的积聚性，求出水平投影。

解　如图6-13（b）所示，作图步骤如下：

1）求水平面截切圆锥体截交线的投影；

2）求水平面截切圆柱体截交线的投影，它的截交线是过B、C两点的直素线BD和CE；

3）求正垂面截切圆柱体截交线的投影，它的截交线的水平投影是椭圆的一部分，由D、E、F等点围成。

以非圆曲线连接c、a、b，以椭圆弧连接e、f、d，连接直线bd、ce、ed所得图线即为所求。

例6-7　求连杆接头的截交线，见图6-14（a）。

分析：连杆接头是由同轴线的圆球、内环面和圆柱体组合而成。被前后两个正平面对称地截切圆球和内环，所得截交线为圆弧和非圆曲线组成。这两段截交线的连接点在球与内环面的分界点上。因截平面与圆柱体不相交，故圆柱体上无截交线。组合截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，可利用它们求出截交线的正面投影。

解　如图6-14（b）所示，作图步骤如下。

1）求截交线圆与非圆曲线的分界点的正面投影1′、3′，求法从略。点1′、3′左面为球的截交线，是半径为R的部分圆，右面内环的截交线最右点2′可由水平投影2直接求得。再用辅助平面法（选侧平面）求一般位置点4′、5′。

2）光滑连接1′、4′、2′、5′、3′各点即为所求。

截交线的性质是：

1）截交线是封闭的平面几何图形（平面折线、圆、椭圆、抛物线与直线、双曲线与直线）；

2）截交线是截平面与被截立体的共有线，截交线上的点是截平面与被截立体的共有点。

截交线可以利用截交线投影的积聚性或利用辅助平面法、辅助素线法求得。