3.1　点的投影

3.1.1　点在三面投影体系中的投影

如图3-2所示，过三棱锥的顶点S分别向H面、V面、W面作垂线，依次得到垂足s、s′、s″，称这些点分别为点S在H面、V面、W面上的投影。规定用大写字母表示空间点，例如S，它的H面、V面、W面投影分别用相应的小写字母s、s′、s″表示。

然后使V面保持不动，将H面、W面按图3-2（a）所示的方向展开到和V面在同一平面上。为了作图方便，规定不画投影面的边框线，见图3-2（c）。应特别说明的是：OY轴是H面和W面的共有轴，它转到H面后叫它Y_H轴，转到W面后叫它Y_W轴。

由图3-2（c）可以看出点S在三面投影体系中有以下投影规律：

①ss′⊥OX轴，即点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；

②s′s″⊥OZ轴，即点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴；

③点的水平投影s到OX轴的距离等于点的侧面投影s″到OZ轴的距离，即：ss_x＝s″s_z。为了保证做到ss_x＝ss″_z，可按照图3-2（c）所示方法作图。

根据上述投影规律，若已知点的两面投影，可以求出它的第三面投影。

例3-1　已知点A的两面投影a′、a″，点B的两面投影b、b′，分别求出它们的第三面投影，见图3-3（a）。

图3-3　已知点的两面投影求第三面投影

解　如图3-3（b）所示，由点的投影规律可知，aa′的连线垂直于OX轴，所以点A的水平投影一定在过点a′所作的垂直于OX轴的垂线上；依据点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，在垂线上截取aa_x＝a″a_z，即可得到点A的水平投影a。

用同样的方法，依据点的投影规律，可以求出点B的侧面投影b″。很显然点B在H面上。

3.1.2　点的三面投影与直角坐标

点的空间位置可由其任何两面投影确定。同样也可以由其三个空间坐标值确定。三投影面体系可以看做是一个空间直角坐标系。投影面H、V、W可以看做是三个坐标平面，三条投影轴OX、OY、OZ可以看做为坐标轴，三个坐标轴的交点即为坐标原点O。

由图3-4可知，点A的坐标与其投影之间的关系为：

图3-4　点的三面投影与直角坐标的关系

点A的H面投影a由其在坐标轴OX、OY的坐标x、y确定；

点A的V面投影a′由其在坐标轴OX、OZ的坐标x、z确定；

点A的W面投影a″由其在坐标轴OY、OZ的坐标y、z确定。

用坐标来表示空间点的位置可以写成A（x，y，z）。例如，点A的H面投影a若用空间坐标表示则为a（x，y，0），V面投影则为a′（x，0，z），W面投影则为a″（0，y，z）。可以看出点的任何两面投影相加均表示点的三个坐标值。因此若已知点的两面投影，它的空间位置也就被确定了。

例3-2　已知点A（30，20，25）、点B（20，35，0）的坐标，求其三面投影并画出其轴测图。

解　作图的方法见图3-5。

例3-3　如图3-6（a）所示，已知点A的两面投影a、a′，求它在W面上的投影；已知点B的两面投影b′b″，求点B的第三面投影；写出它们的坐标值。

解　如图3-6（b）所示。

（1）求点A的W面投影

1）过点a′作OZ轴的垂线；

2）在过点a′所作垂线上截取a″a_z＝aa_x，则点a″即为所求。

图3-5　由点的坐标求作点的三面投影

图3-6　求点A、B的第三面投影和坐标值

（2）求点B的第三面投影

在OY_H轴上截取Ob_YH＝Ob″，则b即为所求。很显然，点B在H面上。

A、B两点的坐标值可在图上直接量取。