1.3.4　有效数字

1）有效数字位数的确定

在化学实验中，经常需要对某些物理量进行测量并根据测得的数据进行计算。测定物理量时，应采用几位数字，在数据处理时又应保留几位数字呢？ 为了合理地取值并能正确运算，需要了解有效数字的概念。

有效数字是实际能够测量到的数字。到底要采取几位有效数字，这要根据测量仪器和观察的精确程度来决定。例如，在托盘天平上称量某物为7.8 g，因为托盘天平的精密度为±0.1 g，所以该物质量可表示为（7.8±0.1）g，它的有效数字是2 位。加/减号前面的数字是以有效数字形式表示的数据，加/减号后面的数字是测量的平均偏差（或误差）。如果将该物放在分析天平上称量，得到的结果是7.812 5 g，由于分析天平的精密度为±0.000 1 g，所以该物质量可以表示为（7.812 5±0.000 1）g，它的有效数字是5 位。又如，在用最小刻度为1 mL 的量筒测量液体体积时，测得体积为17.5 mL，其中17 mL 是直接由量筒的刻度读出的，而0.5 mL 是估计的，所以该液体在量筒中的准确读数可表示为（17.5±0.1）mL，它的有效数字是3 位。如果将该液体用最小刻度为0.1 mL 的滴定管测量，则测得其体积为17.56 mL，其中17.5 mL 是直接从滴定管的刻度读出的，而0.06 mL是估计的，所以该液体的体积可以表示为（17.56±0.01）mL，它的有效数字是4 位。

从上面的例子可以看出，有效数字与仪器的精确程度有关，其最后一位数字是估计的（可疑数），其他的数字都是准确的。因此，在记录测量数据时，任何超过或低于仪器精确程度的有效位数的数字都是不恰当的。如在托盘天平上称取某物质量为7.8 g，不可计为7.800 g；在分析天平上称取某物质量恰为7.800 0 g，亦不可记为7.8 g。因为前者夸大了仪器的精确度，后者缩小了仪器的精确度（表1.2）。

表1.2　常用仪器的精确程度及有效数字位数

有效数字的位数可用下面几个数值为例来说明（表1.3）。

表1.3　有效数字的位数

数字1，2，3，4，5，…，9 都可作为有效数字，只有“0”有些特殊。它在数字的中间或数字后面时，则表示一定的数量，应当包括在有效数字的位数中。但是，如果“0”在数字的前面时，它只是定位数字，用来表示小数点的位置，而不是有效数字。在化学实验的数据记录中，常常用科学计数法表示数据。例如，（1.2±0.1）×10-3 表示2 位有效数字；（5.600±0.001）×10-3表示4 位有效数字。

在实验数据记录和有关的化学计算中，要特别注意有效数字的运用，否则会使计算结果不准确。

2）有效数字的使用规则

（1）数字修约规则。实验中所测得的各个数据，由于测量的准确程度不完全相同，因而其有效数字的位数可能也不同。在数据的记录和数学运算中需要重新确定各测量值的有效数字位数，舍弃其后多余的数字。舍弃多余数字的过程称为“数字修约”。根据我国国家标准（GB），修约规则为“四舍六入五成双”，即当测量值中被修约的那个数字等于或小于4 时，则舍去。例如，数据16.343 6 要保留一位小数，被修约的数字为4，则16.343 6→16.3。

当测量值中被修约的那个数字等于或大于6 时，则进1。例如，数据16.363 6 要保留一位小数，被修约的数字为6，则16.363 6→16.4。

当测量值中被修约的那个数字等于5，而5 之后的数字不全为“0”时，则进1。例如，数据1.250 6 要保留一位小数，被修约的数字为5，其后数字为06，则1.250 6→1.3。当测量值中被修约的那个数字等于5，而5 之后的数字全为0 时，5 之前的数字为奇数，则进1；5 之前的数字为偶数（包括“0”），则不进，总之使末位数成偶数。例如，下列数据保留一位小数：

1.350 0→1.4

1.650 0→1.6

1.050 0→1.0

一个数据不论舍去多少位，只能修约一次。

（2）加减运算。几个数据在进行加、减运算时，所得结果的小数点后面的位数应该与各加、减数中小数点后面位数最少者相同。

例如，将28.3，0.17，6.39 三数相加，它们的和为：

应改为34.9。

显然，在三个相加数值中，28.3 是小数点后面位数最少者，该数的精确度只到小数点后一位，即28.3±0.1，所以在其余两个数值中，小数点后的第二位数在加和中是没有意义的。显然加和数中小数点后第二位数值也是没有意义的。因此应当用修约规则弃去多余的数字。

在计算时，为简便起见，可以在进行加减前就将各数值修约，再进行计算。如上述三个数值之和可修约为：

（3）乘除运算。几个数据在进行乘、除运算时，所得结果的有效数字的位数，应与参与运算的数值中有效数字位数最少的相同，而与小数点的位置无关。

例如，0.012 1，25.64，1.057 82 三数相乘，其积为：

0.012 1×25.64×1.057 82=0.328 182 308 08

所得结果的有效数字的位数应与三个数值中有效数字最少的0.012 1 的位数（三位）相同，故结果应改为0.328。这是因为，在数值0.012 1 中，0.000 1 是不太准确的，它和其他数值相乘时，直接影响到结果的第三位数字，显然乘积中第三位以后的数字是没有意义的。

在进行一连串数值的乘（除）运算时，也可以先将各数修约，然后运算。如上例中三个数值连乘，可先修约为：

0.012 1×25.6×1.06

在最后结果中应保留3 位有效数字。需要说明的是，在进行计算的中间过程中，可多保留一位有效数字运算，以消除在修约数字中累积的误差。

（4）对数运算。在对数运算中，真数有效数字的位数应与对数尾数的位数相同，而与首数无关。首数是供定位用的，不是有效数字。

例如：lg 15.36=1.186 4 是4 位有效数字，不能写成lg 15.36=1.186 或lg 15.36=1.186 39。

另外，在数据处理过程中还应注意：

①若数据的首位数字大于8 时，则有效数字的位数可以多算一位。例如，8.68 可看作4 位有效数字。

②只有在涉及直接或间接测定的物理量时才考虑有效数字。对于像π、e 以及手册中查到的常数，可以认为其有效数字的位数是无限的，不影响其他数字的修约，可按需要取适当的位数。一些分数或系数应视其有足够多的有效数字，可以直接计算，不必考虑其本身的修约问题。其他如相对原子质量、摩尔气体常数等基本数值，如需要的有效数字少于公布的数值，可以根据需要修约。