第 五节   璀璨！数学的魅力

在希腊化时代，西方数学得到了很大发展。尤其埃及托勒密王朝的亚历山大城（即亚历山大里亚），由于托勒密一世本人很注重科学，专门办了一个亚历山大大学，建立了藏书50万册的图书馆，因此孕育出一批优秀的科学家、思想家、数学家。数学家中的开山鼻祖是欧几里得（公元前330年—公元前275年），他被称为“几何之父”。

欧几里得生于雅典，年少时曾到柏拉图学院学习。柏拉图当初在门口写下训词“不懂几何者不得入内”，因此欧几里得在这里获得了初步几何知识。从公元前7世纪到公元前4世纪末，西方人已经积累了许多几何学的零散知识，却缺乏系统性。欧几里得在学习中逐渐体会这点缺憾，决心自己来推动这一次变革。

他专门赶到当时西方的文化中心——埃及亚历山大城，废寝忘食地阅读前人的数学专著，向学者请教。经过数年的努力，欧几里得终于在公元前300年左右，写出了《几何原本》一书。全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷，欧几里得先提出公理、公设和定义，再由简到繁地证明它们，全书论述紧凑明快，由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。

在欧氏几何学中，所有的定理都是从不需证明的公理演绎出来，或者从先前已经证明的定理推导而来的，这种演绎推理对后世产生了深远的影响。这是人类第一次将几何学系统化、条理化。其中大批定律、理论和公式应用至今。

在欧几里得的推广下，希腊世界尤其是埃及掀起了学习几何的热潮，几何学成为一种时髦。欧几里得也成为亚历山大大学里最负盛名的教授之一。由此还出现了不少有趣的故事。

一个故事是说尊师重道的埃及国王托勒密一世也想来学习几何，然而这位戎马半生，征战万里的君主却对几何条条框框颇为头疼。他想起了老上司亚历山大解开绳结的故事，便问欧几里得，学习几何有没有捷径？欧几里得笑道：“对不起，国王，学习几何没有捷径可走，人人都得努力思考才能收获，国王和普通老百姓都是一样的。”从此，“在几何学里，没有专为国王铺设的大道”成为千古名言。

而最著名的一个故事，是说某个学生初次见面，很直爽地问欧几里得：“先生，学几何能有什么好处？”欧几里得听了，吩咐仆人：“拿几块钱给这家伙，轰走他。他学几何就是为了捞到好处。”

除了《几何原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传。只有《已知数》《圆形的分割》《反射光学》《现象》《光学》流传至今。欧几里得带出来的徒子徒孙们，则是枝繁叶茂。

欧门学者中最有名当属阿基米德（公元前287年—公元前212年）。他是西西里岛的叙拉古人，是叙拉古僭主希耶隆二世的亲戚，父亲是一位天文学家。阿基米德受父亲影响，自幼勤奋好学，少年时便漂洋过海，到埃及的亚历山大大学，拜欧几里得的学生柯农为师，学习哲学、数学、天文学、物理学等诸多知识。阿基米德天赋过人，又是个学习狂人，很快成为亚历山大大学的“学霸”。学成归国后，阿基米德继续疯狂地研究学习，废寝忘食，经常要被家人逼着才肯吃饭、睡觉、洗澡，洗澡的时候还要沾着油膏在自己肚皮上画几何图形。他长期与亚历山大的学者们往来通信，相互交流。

阿基米德是欧几里得的徒孙，但他青出于蓝而胜于蓝，远远突破了师公的成就。欧几里得把几何学当作纯粹的哲学，比较轻视实用性。比如欧几里得证明了两个圆面积之比等于周长之比的平方，但具体周长、面积怎么计算，欧几里得就不管了。阿基米德却是个实践狂人，用无限切割法算出了很多几何学的具体公式。例如，圆周率的近似值在22/7至223/71之间，球的体积等于4π3/3，等等。

阿基米德还将数学和工程学结合，搞了许多创造发明。他发现农民在天旱时，一桶一桶从河里提水很累，就发明了一种螺旋提水器。阿基米德说了那句著名的话——“给我一个支点，我可以撬动地球”。叙拉古僭主希耶隆二世不信：“别说撬动地球，你先把我新造的这艘大船撬动下试试？”阿基米德同意了。他设计了一组复杂的滑轮，到正式表演那天，在千万观众面前摇动滑轮，大船果然缓慢地滑入水中，看得希耶隆二世目瞪口呆。

还有那个著名的“称王冠”故事。希耶隆二世怀疑工匠制作的黄金王冠中掺了其他金属，请阿基米德设法检测。阿基米德百思不得其解。当他去洗澡时，身体浸入浴盆，发现许多水被排了出来，而感觉自己身体在失去重量。他猛然间恍然大悟，高声叫着“找到了！找到了！”他赤身奔向宫殿，将金冠放入盛满水的盆中，再用满溢出来的水计算金冠的体积，与金冠的重量比较，从而发现金冠中掺杂了白银。著名的阿基米德原理即浮力定律，论述物体在液体中减轻的重量与它排出的液体体积之间的关系。

阿基米德

然而国家动荡，容不下一间平静的实验室。阿基米德尚在亚历山大求学时，他的家乡叙拉古便卷入了罗马和迦太基争霸的布匿战争。第二次布匿战争爆发后，叙拉古联合迦太基共同对抗罗马。公元前214年，罗马执政官马塞拉斯率领大军进攻叙拉古，阿基米德挺身而出，发明了诸多守城器械。投石机将大块石头和金属砸向罗马战船，冲击槌用一根大木头直接撞击罗马战船的腹部，还有一种起重机式的机械，从城头上伸出，将罗马战船抓住，一头吊到空中，然后掀翻。据说阿基米德还曾用几千面青铜镜反射太阳光聚焦，使罗马战船起火燃烧。

在阿基米德的军事科技打击下，无敌的罗马军吃尽了苦头。马塞拉斯只得改用长期围困，到公元前212年才攻灭叙拉古。城破时，阿基米德不加理会，在家里继续埋头研究几何学。一个喝醉的罗马士兵闯进来，拔剑指着阿基米德。阿基米德毫不畏惧，平静地对士兵说：“等一等，让我先计算完这个公式，别给后人留下遗憾。”士兵大怒，一剑刺死了阿基米德。罗马军统帅马塞拉斯闻讯，痛心不已。他对于让自己屡次败北的阿基米德是非常佩服的，一心想请他去罗马，却被这个士兵坏了事。马塞拉斯严惩了凶手，抚恤阿基米德的遗属，厚葬了这位伟大的数学家，并根据阿基米德生前的愿望，在他的墓碑上刻下了表明其体积比为3:2的一个圆柱体及其内切球。

“欧门”的另一位著名学者是艾拉托色尼（公元前275年—公元前195年）。他是阿基米德的同学和铁哥们，既是数学家，也是科学家、哲学家和诗人。

艾拉托色尼出生在非洲北岸的希腊殖民地昔兰尼加（今利比亚东部），年轻时前往东边的亚历山大求学，后来又到雅典学习哲学。公元前235年左右，他被托勒密三世聘为其子的家庭教师，后来又担任亚历山大图书馆馆长，算得上是西方世界数一数二的学界大师。

艾拉托色尼在天文地理方面取得了许多成就。某一次他途经埃及的希恩纳，发现每年夏至日的正午，阳光直射当地一口枯井的井底。可是次年夏至日正午，他在亚历山大观测，却发现阳光和地面并非完全垂直，还有一个小小的夹角。这是怎么回事呢？艾拉托色尼得出一个正确的结论：因为大地是球形的，希恩纳和亚历山大两地的地平面，本身就存在一个夹角，所以夏至日正午阳光直射希恩纳地面，却不直射亚历山大地面。进一步，艾拉托色尼通过这两地之间的距离，以及夏至日正午阳光与亚历山大地面垂直线的角度，计算出地球的周长是39690公里。这与现代测出的地球极地周长39940公里相差不大。

除此之外，艾拉托色尼还通过太阳高度在冬至日和夏至日之间的差别，测出黄道倾角等于23°51,19.5″。他写了一本《地理学》，创立普通地理学的完整体系，并首次使用“地理学”这个词。他通过大陆内地发现的贝壳等化石，论证地壳变动的可能性。他还根据大西洋和印度洋涨潮落潮的一致性，预言这两大海洋是相通的，人们可以从海路绕过非洲。他用南北极圈、南北回归线，将地球划分为北寒带、北温带、热带、南温带和南寒带。他绘制了西方世界举世闻名的世界地图。他发明了“艾拉托色尼筛法”，将一个范围内所有的合数都筛出来，留下一张素数表。他还写下1本《哲学史》，12册《古喜剧史》以及天文学的诗篇《赫尔墨斯》等。

遗憾的是，如此一位才华横溢的博学大师，下场却非常凄惨。公元前195年，年已八旬的艾拉托色尼因为患病双目失明，被辞退了图书馆馆长职务，之后竟陷入贫困无助的境地，最后活活地饿死了。