6.1.2　坐标系转换

相机标定过程中涉及的坐标系主要包括像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系以及世界坐标系。

（1）像素坐标系

像素坐标系表示像素在图像中的位置，一般计算机领域使用的像素坐标系是以图片左上角作为坐标系原点，如图6-1所示。

图6-1　像素坐标系

其中O p为坐标原点，水平向右是u轴正方向，竖直向下是v轴正方向，其中任意一个像素点坐标P i可表示为（u i，v i）。

（2）图像坐标系

在像素坐标系中，每个点的位置都是以像素为单位表示的，并不能反映物体实际的物理尺寸，需要把像素坐标转化为图像坐标，利用像素坐标系到图像坐标系的转换，即可获得图像坐标系，如图6-2所示。

图6-2　图像坐标系

其中图像坐标系的原点O i在图像中心，水平向右是x 轴正方向，竖直向下是y轴正方向。

假设图像坐标系的坐标原点O i在像素坐标系下的坐标为（u i，v i），相机中感光元件每个像素的物理尺寸为d x·d y，则图像坐标系下的坐标（x，y）和像素坐标系下的坐标（u，v）之间的关系可以表示为：

写成矩阵形式，表示为：

改写成齐次方程，表示为：

（3）相机坐标系

相机坐标系以相机的光轴作为z轴，光线在相机光学系统的中心位置为原点O c，相机坐标系的水平x c轴和竖直y c轴分别和图像坐标系的x 轴和y 轴平行，如图6-3所示。

图6-3　相机坐标系

其中，相机坐标系的原点O c和图像坐标系的原点O i之间的距离为f，也就是光学系统的焦距。

图像中存在点P，坐标为（x，y），其在相机坐标系中的位置为点B，坐标为（X c，Y c，Z c）。相机坐标系和图像坐标系的关系为：

（4）世界坐标系

世界坐标系是图像和真实物体的映射关系，在普通的单目相机中，就是真实物体尺寸和图像尺寸的映射关系。如果是双目或多目相机，则需要在知道其他相机相对位置关系的基础上，进行一系列换算。

通常情况下，世界坐标系和相机坐标系并没有严格的关系，它们是两个独立的坐标系，如图6-4所示，世界坐标系的原点为O w，它和其他三个坐标系并不是平行的，存在一定的旋转角度，同时也存在一定的平移。

图6-4　世界坐标系

对相机坐标系中的坐标，按照一定参数，分别绕着X、Y、Z轴进行平移和旋转后，就可以获得世界坐标系下的坐标。其中，平移操作表示为：

其中，t x、t y、y z表示对应方向上的平移量。

对于旋转变换，可以采用如下方法，给出一个旋转矩阵：

围绕X 轴做旋转时，保持基本矩阵第一列不变，有如下的旋转矩阵：

围绕Y轴做旋转时，保持基本矩阵第二列不变，有如下的旋转矩阵：

围绕Z轴做旋转时，保持基本矩阵第三列不变，有如下的旋转矩阵：

同时旋转X、Y、Z 三轴，加上平移，可以获得相机坐标系到世界坐标系的转换公式：