4.3.2　土的极限条件

如果土体的抗剪强度曲线和土中某点的应力圆已知，则可根据两者在同一坐标图上的关系来确定该点所处的应力状态，如图4.4以判断土体是否达到破坏。

（1）莫尔圆1位于抗剪强度曲线之下，表示该点任一平面上的剪应力都小于它的抗剪强度，即τ<τf，因此不会发生剪切破坏。

（2）莫尔圆2与抗剪强度曲线相切，表示已有一对平面上剪应力达到了它的抗剪强度，即τ=τf，因而处于极限平衡状态，此时的莫尔圆称为极限应力圆。

（3）莫尔圆3与抗剪强度曲线相割，表示该点某些平面上的剪应力已大于土的抗剪强度，即τ>τf，土体已被剪破。实际上这种应力状态不可能存在，因为在此之前，该点早已沿某一平面剪破了，剪应力不可能超过土的抗剪强度。

根据极限应力圆与抗剪强度相切于一点的几何关系，可建立黏性土和无黏性土的极限平衡条件。土中一点的极限平衡条件，是指当该点处于极限平衡状态时其应力与抗剪强度的关系。对于黏性土，由图4.4中几何关系可知：

图4.4　莫尔应力圆

经整理得：

改写上式：

利用三角函数公式

则有

又有

对无黏性土，因为c=0，由式（4.7），（4.8）和（4.9）得：

当土中一点应力达极限平衡状态时，破裂面与大主应力面关系由图4.4可知，破裂角fα为：

由上述可知，土的极限平衡条件是土体强度理论的基础。运用极限平衡条件可以判断土体中任一点是否会剪破。在一般情况下，破坏面不发生在最大剪应力作用面（α=45°）上（因该面上的抗剪强度更大），而是发生在莫尔圆与抗剪强度曲线相切的切点所代表的斜面上，即与大主应力面成α=±（45°+φ/2）夹角的斜面上。

【例题4.1】砂土地基中某点，其最大剪应力及相应的法向应力分别为160 kPa和340 kPa。若该点发生剪切破坏，试求：（1）该点的大、小主应力；（2）砂土的内摩擦角；（3）破坏面上的法向应力和剪应力。

【解】（1）该点的大小主应力

因为

所以　σ1＝500kPa，σ3＝180kPa

（2）当该点发生剪切破坏时，由式（4.10）有

所以　φ＝28°

（3）破坏面上的法向应力和剪应力

【例题4.2】已知地基中某点剪切破坏时的大主应力σ1=400 kPa，小主应力σ3=76 kPa，地基土内摩擦角φ＝30°，黏聚力c=50 kPa，求：（1）破坏面上的法向应力和剪应力；（2）为什么破坏面不发生在最大剪应力的作用面上？

【解】破坏面与大主应力作用面夹角为

由式（4.4）、（4.5）得破坏面上法向应力和剪应力

在最大剪应力面上α＝45°

在最大剪应力面上剪应力为162 kPa，而该点上抗剪强度为187.4 kPa，即fτ>1τ，故在最大剪应力面上不发生剪切破坏。