通常,物理学概念是用空间和时间来表达的,故物理的量度最后总是要涉及这两个概念同数的结合。马克思说:“一种科学只有在能运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”数学在自然科学中的应用,已经不仅仅是探讨数值解,还包括用数学方法去探讨其他学科的发展规律。数学在科学研究中的作用有三:

(1)为科学研究提供简洁、精确的形式化语言;

(2)为科学研究提供数量分析和计算的方法;

(3)为科学研究提供推理工具和抽象能力。

所有这些作用的发挥都是以形式化、符号化为前提的。在科学研究中,应用符号和符号体系是十分重要的。符号具有约定的代表作用,是用记号(sign)代表抽象概念。也就是说,它是某一概念或某一群概念的特征形象标记。其最大的优点是确切性、经济性和通用性。

应用符号和符号体系有下述好处:

(1)把抽象的情况变成一群可知觉的事实,具有可见的明确性,而明确性将使这类概念从逻辑抽象中区别出来。

(2)规定符号的规则能唯一地固定下来,而单靠思维规律几乎是不可能的。这样避免了使用易于含混的语言推理。正如几何光学中正负号规则易于确定所成的像是实像还是虚像,是正像还是倒像。

(3)思维经济,即以高效率进行思维和推理。例如,我们可以导得曲线坐标系下逆变形式的牛顿方程:式中m 0为质点(或粒子)的静止质量,点号“·”表示对时间t的微商, ̇x j表示矢径在曲线坐标系的逆变分量,Fλ表示力的逆变分量,是第二类克里斯托弗符号。用这一简明的方程可以研究任意曲线坐标系下质点的运动。

(4)符号体系和规则能把一些表面上看起来不同的事物联系和统一起来。例如,麦克斯韦由两个旋度方程导出了波动方程,证明电磁现象是以波动形式存在并以光速传播的,从而预言电磁波的存在以及“光就是电磁波”。

(5)在某些场合下,物理量算符化甚至是建立理论体系的特征和途径。在量子力学中,描述力学体系的力学量,一般用算符表示。例如,能量用算符ih表示,动量用算符ih表示。这里,算符不是直接代表 -数值的符号,而是某种运算符号。如上述能量算符和动量算符,就是一些微分运算。在量子力学的初期研究中,薛定谔从德布罗意的物质波观念出发,得到了实物粒子的波动方程。把其与经典力学相比,发现将微观力学量用算符表示,新的波动方程就与经典力学方程具有相同的形式。求解这个波动方程,就能得到算符的一系列本征值。它们正好与微观力学量的量子化取值一致。这就是说,通过力学量的算符化,可以解决它的量子化。

(6)符号体系中每一个符号必定代表一个概念。这个概念超过了用这个符号来表示的特殊的实验操作。例如,波义耳定律中P代表大量实验操作的综合,是抽象出来的。当原始概念与某些符号之间存在一些数学关系时,通过它能推演出物理定律,由物理定律建立科学理论。一个最典型的例子是:匀速运动定律、匀加速运动定律、简谐运动定律、能量守恒定律……每一个都是真正的物理定律。它可通过位移(s)、时间(t)、速度(v)、加速度(a)、质量(m)、力(F)等来表示,从而建立了力学理论。