二、衍射花样

屏上的光强度分布由式(2-16)决定，由式(2-16)或式(2-17)可知，不同的衍射角所对应的屏上位置有着不同的光强度，凡是u值相同(即θ角相同)的地方有相同的光强度，因些单缝夫琅和费衍射花样是平行于狭缝的明暗相间的直条纹。

图2-11是根据式(2-17)作出的相对光强分布曲线。

图2-11 夫琅和费单缝衍射相对光强分布曲线

光强可由洛必达法则求得其极限值为

即在与接收屏的交点处有最大光强，称为中央主最大。

u=jπ(j=±1，±2，±3，…)时，即满足

将上式代入式(2-16)可知该处的光强最小，I=0。在相邻两最小值之间有一最大值，称次最大，次最大所在位置可对式(2-17)求一阶导数而得

有

凡是满足上式的衍射角方向上，就有次最大出现。上式是u的超越方程，只能通过数值法或图解法求解，用作图法求解时，在同一坐标上作出f(u)=tgu正切曲线和f(u)=u直线，如图2-12所示，其交点就是上式的解。

图2-12 求方程tgu=u解的图解法

将图解法求得的解代入式(2-17)可求得各次最大相对光强，如表2-1所示。

表2-1 各级亮条纹的衍射角和相对光强

由上所述可以看出夫琅和费单缝衍射花样的特点是：中央亮条纹的宽度最宽，是各次最大亮条纹宽度的两倍；暗条纹的间隔是相等的，而次最大亮条纹间隔不相等；各级亮条纹光强不相等，中央主最大光强最大，各级次最大的光强远远小于中央主最大的值，且随着级数的增大而很快地减小。

把亮条纹到透镜光心所张的角度称为角宽度，对于中央亮条纹来说，其角宽度的一半即半角宽度应等于第一暗条纹所对应的衍射角θ，有

在θ很小时，有

由式(2-19)可知，中央亮条纹的角宽度与缝宽a成反比，a越小，即对波面的限制越强，则衍射光斑扩展得越宽，衍射现象越显著。反之，当缝宽a增大时，尤其是当缝宽很宽a≫λ时衍射光斑收缩成一条亮线，这时就只能观察到几何光学的像点。

例2-1：波长为5000Å的平行光垂直入射到宽度为0.2mm的狭缝上，将焦距为20cm的凸透镜置于缝后，试计算：(1)置于焦平面的光屏上的衍射花样的第一最小值和第二最小值之间的距离。(2)第一最大值和第二最大值之间的距离。

解：(1)由式(2-18)可知，第一最小值和第二最小值对应的衍射角为

故在光屏第一最小值和第二最小值的距离为

第一最大值和第二最大值u分别为

故其对应的衍射角为

同理，可求得二者之间的距离为