2.2.1 组合逻辑表达式与真值表

1.表达式

继电电路常用到触点，触点代数研究的变量就是这个触点。触点代数是研究触点电路的重要工具，也是研究PLC逻辑问题的基础。

（1）有关约定

1）触点变量。继电电路常用到触点，触点变量就是反映触点状态的逻辑量。仅有两个取值，1与0。1代表通或ON；0代表断或OFF。

在一个电路中，同名器件有时用它的常开触点、有时用它的常闭触点。常开触点，没有外作用时，是断开的，有外作用时，是接通的。直接用变量名命名，如X，读X。常闭触点，没有外作用时，是接通的，有外作用时，是断开的。用变量名加一小横线命名，如X，读“X的非”。由此可知，常开与常闭触点，其取值是相反的。

PLC程序不是硬件，没有实际触点，用的是操作数“位”。直接用（读）它，相当于使用常开触点。用（读）它的“非”，相当于使用常闭触点。

2）触点代数运算。触点代数是用指定运算反映触点间的连接。触点并联的运算是“或”，也叫加（+）、或析取。对应梯形图指令就是“OR”。触点串联的运算是“与”，也叫乘（＊，有时乘号省略），或合取。对应梯形图指令就是“AND”。触点串联后的并联，则是乘后的和。并联后的串联，则是和后乘。为了明确运算顺序，可使用成对的括号，括号内的运算优先。

此外，还有“非”的运算，也叫求反。上述同名变量的常开、常闭触点间就是“非”的关系。对常开触点求反，即变为常闭触点；对常闭触点求反即变为常开触点；求两次反，又变为自身了。

对应PLC指令，如果指令后加“NOT”，则用变量的非。如“AND NOT X”，是对变量X求反后再“与”。再如“OR NOT X”，是对变量X求反后再“或”。有的PLC干脆这两个单词合并简化成一个词，但含义与此相同。

（2）表达式与电路（对PLC为组合逻辑程序）对应关系。有了上述约定，实际电路（对PLC为组合逻辑程序）与触点代数表达式之间就有了一一对应关系。

对触点电路，除了其中的桥式电路，其他的都可用上述约定的逻辑式子表达。如以本书绪论图0-1、图0-2所示电路为例，其相关表达式为

这里，等式右边为逻辑表达式，反映了触点间的不同连接。左边为输出变量，也就是用电器L。它的取值由表达式左边变量的取值及逻辑运算结果决定，反映电路的效果。

对PLC，如图2-1梯形图程序，根据上述约定，其表达式为

这里，等式右边为逻辑表达式，反映PLC变量间逻辑关系。左边为输出变量，用写指令。它的取值由表达式左边变量的取值及逻辑运算的结果决定，反映程序的效果。

（3）触点代数运算规则、规律及原则。数与数运算规则有：

上述诸式用实际电路的工作效果是很容易证明的。

把上述约定与命题代数对比发现，触点代数与命题代数是等价的。“这个触点接通”、“这个触点断开”就是命题，“这个触点接通或那个触点接通”就是命题运算等。所以，可以把命题代数运算的一些规律移植过来。这些规律有：

这些规律也完全可用实际电路予以验证。

此外，还有3条原则：

1）反演原则。它是反演律的推广。任何逻辑式子F，若“非”仅出现在变量上，把这个公式中的乘与加对换、变量与变量的非对换、1与0对换，所得的式子为G，满足

利用它，很易求出与某一电路功能相反的电路。

2）对偶原则。一个逻辑式子F，若非仅出现在变量上，把这个公式的乘与加对换、0与1对换，所得的式子F′称其为F的对偶公式。对偶是相互的，F也是F′的对偶公式。

若有F=G

则它的任一对偶F′、G′有

F′=G′

有了这个原则，等式的证明可减少一半。

3）代入原则。任何含有变量A的逻辑式子，如果把所有出现A的地方都代之以一个逻辑式子F，则等式仍然成立。这是因为一个逻辑式子的取值，也和逻辑变量一样，不是1就是0，所以，这个原则是正确的。但一定要注意，这个“所有”和“都”，不能部分地被代替，那样就错了。

这些规律、原则是很有用的。可用以化简逻辑表达式。对应电路、PLC程序，就可用最少触点、指令，去表达相同的逻辑关系。

提示：本书绪论中图0-1及0-2中若干功能相同的电路都可运用上述规律、原则予以证明。

（4）触点电路范式。从工艺与使用上考虑，触点电路应标准化。使用PLC的指令也有这个问题。标准化的触点电路称触点连接标准型，也称范式。有两种范式：合取范式与析取范式。

1）合取范式。它是由一些析取范式的合取，是先加后乘的逻辑式。其对应的电路是先并、后串。如表达式

即为合取范式。

容易证明，任一触点电路的逻辑表达式，运用上面讲的规律、原则作变换，总可以化为合取范式。如表达式：

这里用了分配律作变换，把不是析取范式变换成合取范式了。也可运用反演律求解。其结果也是一样的。

运用合取范式很容易求出代数式为零的条件。如上式，只要在3个和项中，有一个为零，这个式子的结果即为零。

2）析取范式。它由一些合取范式的析取组成，是先乘后加的式子。其对应的电路是先串、后并。梯形图很常用这个范式。如表达式

即为析取范式。

也容易证明，任何一个触点电路的逻辑式，运用上面讲的规律、原则作变换，总可以化为析取范式。如

这里用了分配律、吸收律、结合律等作了变换，把合取范式变成了析取范式。也可运用反演律求解。其结果也是一样的。

用析取范式很容易求出逻辑式为1的条件，如上式，只要在3个乘积项中，有一个为1，这个式子即为1。

应该指出，范式虽是标准型的触点连接，但它不是唯一的。逻辑化简，就是要寻找最简的范式，即寻找能实现所要求的功能而又是标准化型触点连接的、且用的触点又是最少的逻辑式子。这对PLC讲，就是用最少的指令，去实现所要求的功能。

（5）触点电路特异范式。由于范式不是唯一的，不大好把握它，为此再介绍一下特异范式。

1）1的组分。1作为逻辑量，可用下式表达，即

根据分配律，可把式（2-1）的右边展开成析取范式，共2的n次方项，即

若把以上乘积项中，X_i看成1，X_i看成0，则其每一项均可看成是一个二进制的数。然后再对应地译成十进制数，则有

这样，表达1的式子可写成

这里的R_i就叫做1的组分，1是由它的所有组分的析取而成。

显然，1的组分要随所讨论的变量多少而变化。当变量数确定后，它的组分是确定的。

可以证明，任何一个触点电路，除恒不通外，表达它的触点逻辑式总可以展开成若干1的组分的合取。如

1的组分又称最小项目，上式有3个1的组分，即说它包含了3个最小项。

表达最小项的逻辑式子又叫特异析取式。显然，对一个具体的电路，变量数确定之后，特异析取式是唯一的。

与1分解为n个变量的组分的析取相对应的电路叫触点塔。图2-16为3个变量的触点塔。

从图2-16可知，不管X、Y、Z怎么搭接，A点总有一条路通到下面来。

这个触点塔有3层，因为它含有3个变量。由此可以推知，触点塔的层数总是等于它所含的变量数。

因为任何一个触点电路，总可以用1的若干组分的析取表达，所以，它也总可以看成是1的触点塔的某一部分。反之，有目的地取出1的触点塔的一部分，总可以构成满足一定要求的电路。

图2-163 个变量的触点塔

2）0的组分。与1的组分相对应的，还有0的组分。根据反演律，有

其中R_i可展开成和的式子，并称之为0的组分。如n=2，则

其对应的电路如图2-17所示。它为多节构成的，n个变量有2ⁿ个节，每节有n个节点并联。从图可看出，不管怎么搭接，A到B总是断的。这正好与它用来表达0相对应。

也可证明，任何触点电路，除为恒通外，均可以变换成若干0组分的合取。这个合取式也称该电路的特异合取式。显然，对任一具体电路，变量数一定时，表达它的特异合取式是唯一的。

图2-17 多节构成电路

既然任一具体电路可表达成特异合取式，那么，取出0电路的一部分（即去掉若干节），只要它符合特异合取式，则它也完全可实现具体电路的功能。

两种特异式子可按一定规律进行转换。具体是，特异合取式是0的组分先减去要转换的特异析取式的所有项，再把余下的各项分别取非，然后再合取；特异析取式是1的组分先减去要转换特异合取式的所有的项，再把余下的各项分别取非，然后再析取。如特异析取式

求其等效特异合析式，可先求1的组分，再减去上式中所含的1组分，余下的为

对这四项再分别取非，各为

以上四项的积，即为这里所求的特异合取式，即

反之，也可倒推回去，其推导过程略。

从以上介绍可知，变量数定了之后，对任一电路，表达它的特异范式总是确定的、唯一的。而且两种特异范式可以互相转换。特异范式用的触点多，实际上不用它，但可说明使用触点最多时的情况，对把握与理解电路是很有用的。

（6）多输出触点电路及其表达式。以上讨论触点电路都只有一个输出值，是单输出触点电路。实际电路有时有多个输出变量，如要对多个对象控制，就要用到多输出触点电路。若用数学表达式表示多输出触点的电路，则为一组表达式，表达式的右边不仅无自身变量，而且也无其他输出变量。具体如下：

这里有n个输入，即x₁，x₂，…，x_n，同时还含有它们的非。m个输出，即y₁，y₂，…，y_m，但不含有它们的非。对应的有m个表达式。图2-18表示的组合逻辑的入出关系。

上述表达式也称为组合逻辑的一般表达式。

多输出电路的化简可先分别对各个输出的表达式进行化简，然后再作输入触点兼用“合并”处理，以求在总体上用最少的输入触点。有关多输出触点电路化简可参阅有关多输出组合逻辑专著。

图2-18 组合逻辑的入出关系

2.真值表

真值表是由行与列组成，用以记录输入变量与输出间的对应关系。它的“列”记录着变量的不同取值；“行”记录着输入变量不同取值时，输出的取值。表中1代表器件工作，常开触点ON，常闭触点OFF；0代表器件不工作，常闭触点ON，常开触点OFF。

如表2-2，就是反映A、B两个输入变量不同取值时，它对应的输出，做不同逻辑运算后的值。

表2-2 A、B两触点不同逻辑运算的真值表

提示：真值表的输入一般应涵盖所有的可能，但顺序可任意。

用真值表分析组合逻辑较直观，是组合逻辑分析与综合常用的方法。