四、向量组
1．N维向量的定义
注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。
2．向量的运算：
　（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；
　（2）向量内积　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）向量长度　
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根号)
（4）向量单位化　(1/|α|)α；
（5）向量组的正交化（施密特方法）
　设α1，α 2，…，αn线性无关，则
　β1=α1，
　β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，
　β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。
3．线性组合
（1）定义　若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
（2）判别方法　将向量组合成矩阵，记
　A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)
若　r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示；
若　r (A)≠r (B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
（3）求线性表示表达式的方法：
　将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。
4．向量组的线性相关性
（1）线性相关与线性无关的定义
　设 k1α1+k2α2+…+knαn=0，
　若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；
　若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。
（2）判别方法：
① r(α1，α 2，…，αn)<n，线性相关；
r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。
②若有n个n维向量，可用行列式判别：
　n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关） (行列式太不好打了)
5．极大无关组与向量组的秩
（1）定义　极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
（2）求法　设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。