How to| 进行蒙特卡洛模拟

随机数序列是一个非常简单的蒙特卡洛模拟. 例如，从均值为0的一个正态分布独立生成的随机数列表可以模拟白噪声的进程.

将 RandomVariate 与 NormalDistribution 联合使用，生成一个数值序列，序列由20个服从均值为0、标准偏差为1的正态分布的数值组成：

用 ListPlot 对数据做图：

现在可以根据数据构建一个随机漫步过程：

将0追加于数列首位，使游走从零开始：

使用 Accumulate 将数据按依次叠加，然后用 ListLinePlot 对结果做图：

下述定义将前面的指令放在一起，您可以用于模拟多个随机漫步并分析它们的性质.

定义一个函数 randomWalk，它可生成长度为 n 的随机漫步：

这里，用 Table 创建五个长度均为100的随机漫步，然后用 ListLinePlot 实现它们的可视化：

现在，生成1000个长度均为100的游走. 由于不必看到输出，因此用一个分号（;）抑制其输出：

现在，您可以对随机漫步的各个方面进行描述性统计的计算. 这里分析的是每个游走的最终位置.

使用 [[ ]]（Part 函数的简写形式）得到每个随机漫步的最终数据点：

计算这1000个随机漫步最终数据点的各种统计量：

蒙特卡洛方法也可用于常数或数值积分的近似求值. 例如，下面求  的近似值：具体方法是，在包围半径为1的圆环的正方形内生成随机点，然后利用正方形面积与圆面积的关系得到近似值.

在由{-1,-1} 和 {1,1}界定的正方形内生成10,000个点：

查看生成的点：

要求  的近似值，将正方形面积乘以点落在以原点为圆心、半径为1的圆内的百分比.

将正方形的面积（4）乘以点在圆内的分数：

使用较多的点，或将多个近似值求平均，通常会得到较好的近似结果.

定义函数 approxPi，根据样本量为  的样本来近似  值：

使用100万个点来近似  值：

将50个来自大小为10000的样本的近似值进行平均来近似  值：

蒙特卡洛模拟非常适用于系统性质非常复杂的情形. 在进行贝叶斯分析时，您往往希望将分布混合，两种分布的参数前后相继生成一个二元分布. 由于个体分布是相关联的，点必须迭代生成，并插入另一个分布中，从而从二元分布中抽样.

这种混合类型称作吉布斯抽样器. 在一个迭代周期后，所产生的点将将接近混合分布. 迭代周期被称作预烧期（Burn-In Period）.

比如，您可能有一个均值已知的正态分布，但标准偏差未知. 但您知道标准偏差服从一种 β 分布，该 β 分布的一个形状参数已知，而另一个形状参数与均值已知的正态分布相关.

定义一个函数，根据该正态分布产生随机数：

定义一个函数，生成该 β 分布的随机数. β 分布的第二个形状参数将是一个正态变量的绝对值：

可以对二元分布的点进行模拟，方法是首先选择正态标准偏差的开始值，然后按序产生正态和 β 分布的随机数. 正态变量利用正态标准偏差的开始值生成. 然后将该正态变量作为 β 分布的未知形状参数，从而产生一个 β 变量. 再然后将该 β 变量用作新正态分布的未知标准偏差，依次类推. 该过程进行一定次数的迭代后，最终的正态和 β 变量是模拟点的坐标.

以标准偏差.5作为开始值，并使用1000次迭代作为预烧期，产生500个点：

用 ListPlot 作出最终所得到的点的视图：

用 Histogram3D 实现点的密度的可视化：

用蒙特卡洛方法进行模拟的其它例子包括优化和高维迭代. NMinimize 与 NIntegrate 有使用这些技术进行优化和数值积分的方法.