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德国数学家克莱因说“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也就是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”所以，数学也是一种哲学，数学中有哲学的体现，哲学中需要数学的描述，因此，在数学与哲学中就有着某些特殊的割不断、理不乱的依赖、依从关系。

1.数学与哲学的基本关系

德国思想家、哲学家、革命家、教育家恩格斯曾说：“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的学科。”数学也是探讨数与形运动规律的学科，而哲学正是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍的规律的科学，所以哲学研究离不开数学。而数学只有将哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学的过程中，才能透彻明了地看待数学问题。这就需要研究数学与哲学的关系，用哲学指导数学学习，用数学加深哲学研究。

（1）数学的发展促进了逻辑的模式——合情推理的发现。美籍匈牙利数学家波利亚在数学领域里观察分析众多典型事例的基础上，经过比较综合，概括出合情推理这一发现模式。波利亚把科学推理分成论证推理和合情推理两种。论证推理是一种必然推理，有逻辑所制定和阐明的严格标准，每一步推理步骤都须经得住逻辑规则检验。合情推理则是一种或然推理，它由一些猜想构成，因而它的标准是不固定的。事实上，人类的认识都是经过合情推理才得到的，而论证推理的主要作用在于肯定或解释我们所得到的知识。无数事实证明，合情推理模型具有很大的普遍适应性，是科学发现逻辑的一般模式，也是一种哲学的思考方法。

（2）数学的发展使得科学思想方法产生重大变革。数学中某一重大成果及某一重要思想方法的取得，有时会为科学思想方法带来巨大活力，引起科学思想方法的重要变革。美国控制论专家扎德于1965年创立的模糊数学就是典型事例。经典的集合论中一个元素是否属于一个集合，只有两种可能，属于或不属于，二者必居其一，其逻辑基础是二值逻辑。而模糊集合把仅能取0与1两个值推广到可以取［0，1］区间的任何实数值，其逻辑基础是多值逻辑，它是对事物“亦此亦彼”状态的定量描述。经典集合是特殊的模糊集合，而模糊集合是经典集合的推广。模糊理论已不断丰富，应用范围不断扩充，已渗透到物理学、化学、生物学、医学、气象学、地质学、社会科学、人文科学、系统论、控制论、信息论与人工智能等。可见，模糊数学给整个科学带来巨大的方法论启迪，它是科学思想史上的一次重大转折。再比如，美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。由此说明，在一定条件下，量变可以达到质变，质变可以通过飞跃的形式来实现，也可以通过渐变的方式来实现，这些都为丰富哲学原理提供了有力的佐证。

（3）数学为哲学研究提供了方法。数学对象是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。数学是形式的，但绝不是形式主义的。数学的抽象形式离不开现实世界，在内容上仍与现实有着密切的关系，抽象的数学内容在现实世界中都能找到原型。如平面几何的全等，就是反映了把两个现实对象相互贴附在一起的实际操作过程；微积分的概念，反映了自然界无限接近的结果。数学理论往往仅通过内部因素交汇融合、震荡提炼，就会涌现出简明深刻、和谐统一的理论。数学作为空间形式和数量关系的科学，其研究的是客观世界的运动规律，因而其必然是唯物的。这种丰富的发展态势，往往有助于人类进一步理解认识世界，因而也对哲学发展提供了更多科学的方法。

（4）哲学为数学发展起到了指导作用。在人类的科学手段、科学方法尚未达到真切认识事物的时候，哲学往往有很强的前瞻作用，这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物，对科学的发展方向能够正确把握。如：哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。大数学家希尔伯特曾直言不讳，他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念。数理学家罗素从分析哲学的基本立场出发，坚持逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代的观点。从这个意义上来讲，哲学实际上就是数学发展前进路上的方向盘。近代以来，数学的发展呈现两个态势，即高度分化又高度综合。分化越深入，综合就越需要，这是辩证统一的。在数学研究中自觉地运用辩证唯物主义哲学作指导，就可以避免或减少片面性、局限性，否则数学的发展就可能会误入歧途，停滞不前。哲学对数学发展的影响是深远的，正确的哲学思想无疑会极大地促进数学的发展，反之，错误的哲学思想会阻碍数学的发展。

（5）哲学作为方法论，为数学提供了有用的认识工具和探索工具。如借用模型研究原型的功能特征及其内在规律的数学模型方法，在当今已成为解决科学技术及人脑思维等问题的最重要的一种常用方法。它的主要特征是高度的抽象化和形式化。那么，如何揭示和把握这种抽象形式结构的规律性呢？是运用数学变换的方法。它的思想基础是辩证法，也就是任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化。因此作为一个数学系统和数学结构，其组成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的。数学家们也正是利用这种可变的规律性，强化自身在解决数学问题中的应变能力，不断提高自己解决数学问题的思维能力和技能、技巧。

2.数学家与哲学家

数学与哲学是不同的学科，一个属于自然科学，一个属于社会科学，看起来好像没有什么必然联系，但实际上它们却互相依赖、互相促进。历史上很多知名的数学家也是有影响的哲学家，他们既研究数学也研究哲学。或者说，一些哲学家为了深入研究哲学，或者找到更有效的研究方法，转而去研究数学，最后又成了数学家。另一些数学家为了站在更高的层面上看待数学、理解数学、研究数学，又去研究哲学，结果又成了哲学家，这也是历史上一个有趣的数学家与哲学家的组合。古希腊伟大的哲学家柏拉图也曾说：“哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。”

下面就让我们认识几位这样伟大的哲学家和数学家。

（1）毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约前500年），古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——巴比伦和印度。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了一个所谓的“毕达哥拉斯学派”的政治和宗教团体。传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。毕达哥拉斯学派还证明了“三角形内角之和等于两个直角（180°）”的论断，研究了黄金分割，发现了正五角形和相似多边形的作法。毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。毕达哥拉斯还坚持数学论证必须从“假设”出发，开创演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。

毕达哥拉斯的哲学思想具有一些神秘主义因素。从他开始，希腊哲学开始产生了数学的传统。他宣称数是宇宙万物的本原，提出来“万物皆数”的哲学观点，认为整个宇宙是数及其关系的和谐的体系，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。毕氏曾用数学研究乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。毕达哥拉斯还从如何培养自律讲到教育的重要性，他认为人的自律只能在理性和知识的指导下才能培养起来，而知识只能通过教育才能获得，所以教育的重要性是不容忽视的。他还提出重视人的价值，要求提高人的思维能力及创造性潜力，鼓励积极的人生态度，提倡积极开拓的精神。

（2）笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），近代法国著名哲学家、物理学家、数学家。笛卡尔出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念这位伟人）。

他对现代数学的发展作出了重要的贡献，创立了著名的平面直角坐标系，也叫笛卡尔直角坐标系，将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。

笛卡尔第一次引入直角坐标系，是变量数学发展的第一个决定性步骤。解析几何的建立对牛顿和莱布尼茨发明微积分理论有着不可估量的作用。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立了点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，开创了运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题的先例。也使我们真正认识了圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破，被恩格斯赞誉为是“数学的转折点”。

他还与英国哲学家弗兰西斯·培根一同开启了近代西方哲学的“认识论”转向。笛卡尔是二元论以及理性主义的代表，留下名言“我思故我在”，提出了“普遍怀疑”的主张，是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“近代哲学之父”。笛卡尔还被广泛认为是西方现代哲学的奠基人，他第一个创立了一套完整的哲学体系。笛卡尔认为，人类应该可以使用数学的方法——也就是理性——来进行哲学思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。笛卡尔自成体系，融唯物主义与唯心主义于一体，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，在物理学方面，他推导了折射定律，与荷兰的斯涅耳共同发现光的折射定律，创造了运动量守恒定律等。他还发展了宇宙演化论，在生理学方面，提出了刺激反应说，被誉为“近代科学的始祖”。

《方法论》是笛卡儿在1637年出版的著名哲学论著，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。对西方人的思维方式，思想观念和科学研究方法有极大的影响，有人曾说：欧洲人在某种意义上都是笛卡儿主义者，就是指受方法论的影响。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界的巨匠，他的哲学与数学思想对历史的影响是极其深远的。

（3）卡尔·马克思（Karl Heinrich Marx，1818年5月5日—1883年3月14日），马克思主义的创始人之一，第一国际的组织者和领导者，被称为全世界无产阶级和劳动人民的伟大导师，无产阶级的精神领袖，国际共产主义运动的先驱。

马克思是德国伟大的思想家、政治家、哲学家、经济学家、革命家和社会学家。主要著作有《资本论》《共产党宣言》《数学手稿》等。

马克思创立的广为人知的哲学思想为历史唯物主义，其最大的愿望是对于个人的全面而自由的发展。马克思创立了伟大的经济理论，其伟大的著作是《资本论》。马克思认为资产阶级的灭亡和无产阶级的胜利是同样不可避免的，他和恩格斯共同创立的马克思主义学说，被认为是指引全世界劳动人民为实现社会主义和共产主义伟大理想而进行斗争的理论武器和行动指南。马克思对哲学的最大贡献是将实践概念引入哲学，使哲学同现代无产阶级的解放联系起来了，将这个哲学彻底运用于社会历史领域导致了唯物史观的产生。在唯物史观的指导下，马克思分析和研究了资本主义社会的经济基础从而发现了剩余价值，指出无产阶级同资产阶级的阶级斗争必然导致无产阶级专政，而这个专政又是从资本主义到共产主义的过渡、演变而来。1848年2月21日《共产党宣言》正式出版，是马克思和恩格斯为共产主义者同盟起草的纲领，是国际共产主义运动的第一个纲领性文献，也是马克思主义诞生的重要标志。宣言第一次全面系统地阐述了科学社会主义理论，指出共产主义运动将成为不可抗拒的历史潮流。

马克思十分重视把数学运用于社会科学的研究。从19世纪50年代开始到他逝世为止，一直未停止过对数学的学习和研究。他认为必须运用数学来研究经济现象的规律性。他为了写作《资本论》的需要，重新学习数学，除了学习对他的经济学研究工作有实用意义的数学外，还深入学习了各种数学问题，阅读了一系列数学书籍，征服了数量庞大而内容详尽的代数及解析几何，并且热心地做了提要，同时深入研究了微积分，写下了长达一千多页的极为珍贵的数学手稿。在《资本论》里，他大量应用数学形式描述和阐释经济规律。马克思说：“一种科学，只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”马克思不是专职数学家，也没有对数学本身作出重大建树，但他的数学手稿之所以受到人们重视，首先，因为他是人类历史上的伟大思想家，而他又在数学这一园地上数十年如一日地执着地辛勤耕耘过，这一事迹是人类文化史上所罕见的，是历史上任何一位思想家都难以相比的。马克思的业余爱好之一就是研究数学，据马克思的女婿拉法格回忆：“除了读诗歌和小说以外，马克思还有一种独特的精神休养方法，这就是他十分喜爱的数学，数学甚至能给他以精神上的安慰。在他那惊涛骇浪的一生中有些最痛苦的时期，他总是以此自慰。”马克思也曾对恩格斯说：“在工作之余——当然不能老是写作，我就搞搞微分学。我没有耐心再去读别的东西。任何其他读物总是把我赶回写字台来。”马克思对数学的特殊爱好，使他在任何情况下都能使自己沉浸于思考之中。

1999年9月，英国广播公司（BBC），评选“千年第一思想家”，在全球互联网上公开征询投票一个月。汇集全球投票的结果，马克思位居第一，爱因斯坦第二。2005年7月，英国广播公司又以古今最伟大的哲学家为题，调查了3万名听众，结果是马克思得票率第一、休谟第二。马克思属于全世界。

（4）艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家、哲学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》等名著。

1687年7月出版的牛顿的科学巨著《自然哲学的数学原理》，阐述了其后三个世纪里都被视作真理的牛顿三大运动定律，并定义了万有引力定律。他的万有引力定律和哥白尼的日心说奠定了现代天文学的理论基础。这些理论奠定了此后物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。直到今天，人造地球卫星、火箭、宇宙飞船的发射升空和运行轨道的计算，都仍以这作为理论根据。在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。该书是牛顿最重要的著作，总结了他一生中许多重要发现和研究成果，开辟了大科学时代。在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并研究了音速。在数学上，牛顿与莱布尼茨分享了发展创造微积分学的荣誉，微积分的创立也成为牛顿最卓越的数学成就。他也证明了广义的二项式定理，它适用于任何幂。还提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究作出了贡献。在经济学上，牛顿提出金本位制度。牛顿是世界上最有影响的科学家，被誉为“物理学之父”。

牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，但更多的却是唯心主义。他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。例如，他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念。他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排，提出一切行星都是在某种外来的“第一推动力”作用下才开始运动的说法。

但是，这些并不影响牛顿作为伟大的科学家而为人类所做出的贡献。2005年，英国皇家学会进行了一场名为“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，牛顿被认为比阿尔伯特·爱因斯坦更具影响力。

（5）伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872-1970），二十世纪英国哲学家、数理逻辑学家、历史学家，无神论者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家之一。1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“多样且重要的作品，持续不断的追求人道主义理想和思想自由”。他的代表作品有《幸福之路》《西方哲学史》《数学原理》等。

罗素同样喜欢数学和哲学，罗素最早就对数学产生兴趣，然后才逐渐转向哲学方面，因此他在数学方面也有很多重要的建树。尤其是在数理逻辑方面，罗素认为数学是逻辑学的一部分，并提出了罗素悖论，刺激和推动了20世纪逻辑学的发展，他的类型理论为解决这个悖论作出了重大贡献。1910年，罗素与他的老师怀特海合著的三卷本的《数学原理》对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大影响。

罗素认为哲学和数学一样，通过应用逻辑学的方法就可以获得确定的答案，而哲学家的工作就是发现一种能够解释世界本质的一种理想的逻辑语言。作为一位逻辑学家，罗素甚至被看作是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。他在数学逻辑方面的贡献也是举世公认的。

哲学上罗素最大的贡献是和G.E.摩尔一起创立了分析哲学，罗素的分析哲学由此诞生。通过将哲学问题转化为逻辑符号，哲学家们就能够更容易地推导出结果，而不会被不够严谨的语言所误导。此外他还在认识论、形而上学、伦理学、政治哲学和哲学史方面作出过贡献。罗素一生的著作有40多部，其中《数学原理》至今依然是数学基础研究发展史上的一个里程碑。

罗素还留下名言无数，如：“对爱情的渴望，对知识的追求，对苦难者给予无限的同情心，这三种简单而又强烈的感情组成了我的一生。”

3.数学中的辩证法

辩证唯物主义的哲学要求人们全面地看问题，因为一切客观事物是相互联系的，并且具有其独特的内部规律，不认识事物的相互联系，不认识事物的内部规律，得出的观点必然是主观主义的。要真正地认识事物就必须把握和研究它的一切方面、一切联系和媒介。只有用辩证唯物主义的观点、方法全面地看问题，才能对外界事物有正确的判断和清醒的认识。而通过数学中丰富的想象力、高度的概括力、思维的创造性，就能逐渐形成辩证唯物主义的科学世界观。

熟悉数学的人都体会到，在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言、图形语言以及简明的数学公式就能明确地表达出各种辩证的关系和相互的转化。

辩证法中有三大规律，即对立统一规律、量变质变规律、否定之否定规律，这是辩证法的核心内容，这三个辩证法规律是哲学上抽象程度最高的产物，也是许多数学关系的理论支撑。

（1）对立统一规律

辩证唯物主义认为，物质世界无处不存在着对立统一，即任何事物都包含着矛盾，矛盾的双方既对立又统一，从而推动事物的变化和发展。对立统一法则是唯物辩证法最根本的法则，对立统一规律揭示了客观存在具有的特点，即现实世界任何事物内部都是矛盾的统一体。

如代数和几何是相互对立的，但整体又是统一的。他们之间是通过平面直角坐标系，把点用有序实数对来表示，把曲线用代数方程来表示，这样就把代数和几何统一了起来。其关系如下图：

如圆的几何定义是：一动点到一定点距离等于定长的点的集合；

圆的方程是：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中圆心（定点）是（a，b），半径是r（定长）。

椭圆的几何定义是：一动点到两定点距离之和等于定长的点的集合就是椭圆。

椭圆的方程是

（a＞b＞0），其中心在原点，焦点在x轴上（两焦点就是两定点），半长轴是a（定长就是2a），半短轴是b。

数学所反映的数量关系和空间形式同样也充满着矛盾，充满着“对立统一”的内容。

如：正数与负数，实数与虚数，乘法与除法，直线和曲线，微分与积分，变量与常量等，这些数量之间的关系都是即矛盾又对立统一的，是数学整体性的具体体现。

马克思与恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生了。”

（2）量变质变规律

量变质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，从量变开始，质变是量变的终结。

如刘徽的割圆术。刘徽为了更精确地计算圆周率和圆的面积，先通过作圆内接正六边形，再作圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形……当正多边形的边数不断增加时，正多边形的周长就接近圆的周长，正多边形的面积就接近圆的面积。据说，刘徽一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据，也称为“徽率”。刘徽形容他的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。即当正多边形的边数趋于无限时，正多边形就与圆合体，此时正多边形的周长就是圆的周长，正多边形的面积就是圆的面积。这就是由量变的积累达到了质的变化，使有限达到了无限，近似达到了精确的辩证关系。

又比如，在微积分中的求导过程中，在弧的长度和弦的长度趋向于零的条件下，弦的斜率就变成了弧的切线的斜率；在时间和距离趋向于零的条件下，平均速度就变成了瞬时速度等。

（3）否定之否定规律

否定之否定规律揭示了矛盾运动过程具有的特点，它告诉人们，矛盾运动是生命力的表现，其特点是自我否定、向对立面转化，事物都是肯定方面和否定方面的统一。因此否定之否定规律就构成了辩证运动的实质。

如数学中的四种命题的关系，就集中体现了否定之否定的规律。

任何一个数学命题都可以进行如下三种变换。如，

命题：对顶角相等。也可以把此命题看作是原命题。

原命题：对顶角相等。（真）

逆命题：相等的角是对顶角。（假）

否命题：不是对顶角就不相等。（假）

逆否命题：不相等的角就不是对顶角。（真）