全屏显示专题章节

罗素说：“数学，如果正确地看她，不但拥有真理，而且还具有至高的美。”数学是理性思维和想象力的完美结合，它的发展建立于社会的需求和人们对美好生活的追求，所以就有了数学的美。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。“哪里有数学，哪里就有美”。数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，数学结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容。数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看：她有体系之美、概念之美、图形之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。此外，数学还有着完美的符号语言，特有的抽象艺术，严密的逻辑体系，永恒的创新动力等特点。

数学美是数学生命力的重要支柱，无论是运算关系、图形结构、数学语言，还是数学思想、数学方法、数学结论等，审美标准重于逻辑标准与实用标准。这是因为结论之美，在一定程度上反映的是真理，方法之美，在一定程度上代表的是科学性。

一些自然数的运算既神奇，又不可思议，就像一幅美丽的图画。

这些运算关系体现了数字运算的和谐美、对称美、序列美、奇异美和节奏美。

（1）三角形之美

这是纯三角形构成的图形。

（3）圆与正多边形

（4）正、余弦曲线

（6）极坐标曲线

（7）参数方程曲线

（8）正态分布曲线

正态分布，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。这是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布曲线反映了随机变量的分布规律，在现实生活中也有着天然的巧合，如各种动植物的高度、质量、体积的分布；人类的身高、体重、血压等的分布，以及班级学生成绩的分布等，基本上都满足正态分布。理论上的正态分布曲线是一条中间高，两端逐渐下降且完全对称的钟形曲线。

标准正态分布：

3.数学语言和结论的简洁美

爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

（1）如刘徽在注《九章算术》中，有关“割圆术”的描述：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。短短一段文字，却是历史上第一位建立了可靠的理论来推算圆周率的数学家，也是极限理论基础的先驱。

（2）结论“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”，古希腊学者希帕索斯因这一“数学新发现”，挑战了神的权威而被抛进大海。真理的发现总是要付出代价的。

（3）欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，体现了数学的统一美和简洁美，怎能不令人惊叹不已。

（4）勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”。所有的直角三角形都必须服从这个规律。

（5）圆的周长公式：C=2πR；圆的面积公式：S=πR2。简洁美。

（6）正弦定理：△ABC的外接圆半径为R，则

；

这都体现了统一美、对称美、和谐美。

（7）二项式定理：（a+b）n=

的序列美、和谐美、对称美。

（8）人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的统一定义如下：“到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹”，当e＜1时，形成的是椭圆，当e＞1时，形成的是双曲线，当e=1时，形成的是抛物线。它们是形状、性质完全不同的曲线，反而可以用一个定义、一个方程来表示，而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。反映了数学的统一美。

（9）美丽的“黄金分割法”，当x∶1=（1-x）∶x时，x=0.61803398…。这就是著名的黄金分割比。达·芬奇称黄金分割比为“神圣比例”。他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。这是比例之美。

（10）欧拉公式：eiπ+1=0，把数学领域中五个最基本的常数0、1、i、e、π有机地结合起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和简单美，欧拉公式也曾获得“最美的数学定理”称号。

（11）梯形的面积公式：S= pagenumber_ebook=376,pagenumber_book=356

（S上底+S下底）

等差数列的前n项和公式 pagenumber_ebook=376,pagenumber_book=356

，两个公式计算的内容不同，但逻辑关系却完全相同。内在统一美。

（12）解析几何中圆的方程：x2+y2=1，这是一个简洁、对称、美丽的方程，其图形也堪称是最对称的图形。当然还有椭圆方程和双曲线方程

，

=1。

（13）简洁的几何结论：

“三角形内角和等于180°”；

“多边形的外角和等于360°”

“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”；

“对顶角相等”；

“内错角相等，两直线平行”；

“同弧所对的圆周角是圆心角的二分之一”

“三角形的外心、重心、垂心共线”，称为欧拉线。

（14）记忆之美

①如同角三角函数关系的六边形记忆法：

规律1：六边形对角线互为倒数：

tan a·cot a=1，sin a·csc a=1，cos a·sec a=1；

规律2：三角形最高两端的平方之和等于低端平方：

sin2a+cos2a=1，tan2a+1=sec2a，cot2a+1=csc2a；

规律3：任意一点的值等于这一点顺时针的第一个值与第二个值的比值：

规律4：任意一点的值等于紧挨着这一点的两个端点的值的积：sin a=tan a·cos a，tan a=sin a·sec a等。

②近40个三角函数的诱导公式的口诀记忆法：

例如，所有的正弦诱导公式都可以统一表示为：sin

，其结果就可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆。

（15）幻方之美：以五阶幻方为例。把数字1～25填入下面的5×5方阵中，使得每一行、每一列以及两对角线上的数字之和都相等。

著名英国数学家哈代说：“数学家的造型与画家或诗人的造型一样，必须美。美是首要标准，不美的数学在世界上是找不到永久地位的”。每一项数学新领域的发现和发展，都经历了漫长的完善过程，如实数、复数体系的建立与完善，就经过了几个世纪，甚至是十几个世纪，数学家们才不断地将它们系统化、科学化、简约化、可接受化，这其中不乏对数学美的执着和追求。