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数学中的智力游戏，思维含量高，趣味性强，是人们在智力活动中特别青睐的内容之一。如我们经常见到的九宫格游戏，就是其中一个著名的例子。也就是如何把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字填入九宫格中，组成一个三行三列的矩阵（如图1所示），使其横行、纵列、对角线的和都相等。

其实这样一个简单的游戏，它的源头却是来自于古老的传说“河图”与“洛书”。“河图”与“洛书”也是华夏文化的源头之一。

相传，上古伏羲氏时代，在洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负“河图”，献给伏羲。伏羲依此而演成八卦。后来周文王又依据伏羲八卦研究成文王八卦和六十四卦，并分别写了卦辞，后为儒家经典《周易》之来源。

又相传，古代大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，其甲壳上有一图像，结构是载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，时称“洛书”，献给大禹，古代也称此为龟书。大禹得到“洛书”以后，启示了他的灵感，所以把中国的水患平定了下来。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。在中国文化的发展中，大禹功不可没，因他治水以后，中国九州才开始以农业立国，一直传承了几千年，大禹还依此定九章大法，来治理社会。

《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”，指的就是这两件事，“图书”一词也源于此。

河图与洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的源头。河图、洛书的数学价值也很高，根据河图画出的八卦实际上就是最早的二进制。18世纪德国数学家莱布尼茨创立二进制时，就是受八卦的启发，他还坦言创立二进制不过是重新发现了中国古代数学的秘密而已。洛书是现代组合数学中最古老的例子，是训练思维的数学幻方，如今在程序设计、图论等方面都有广泛的应用。

2014年11月11日，河图洛书传说，经国务院批准列入第四批国家级非物质文化遗产名录。

河图、洛书最早记录在《尚书》之中，其次在《易传》之中，诸子百家也多有记述。宋代理学大家朱熹在其易学著作《周易本义》中，第一次把“河图”“洛书”单列出来，并将其图置于卷首，以九为河图，十为洛书。河图洛书才正式流传于世。

看似简单而古老的河图洛书，却包含着神秘的数理关系。

1.河图包含的数理关系

（1）等和关系。除中间一组数（5，10）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数之和。

纵向数字：7，2；1，6；7+1=2+6

横向数字：8，3；4，9；8+4=3+9

并进一步得出推论：河图中，除中间一组数（5，10）之外，其余数字中奇数之和等于偶数之和，其和为20。

（2）等差关系。四侧或居中的两数之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；中（10—5），其差均为5。

（3）天地之数：河图共有10个数，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。其中1，3，5，7，9为阳，2、4、6、8、10为阴。阳数相加为25，阴数相加得30，阴阳相加共为55数。所以古人说：“天地之数五十有五”，即万物之数皆由天地之数化生而已。

2.洛书包含的数理关系

（1）等和关系。非常明显地表现为各个纵向、横向和对角线上的三数之和相等，其和为15。

（2）等差关系。细加辨别，洛书隐含着等差数理逻辑关系。

①洛书四边的三个数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复。

上边[4，9，2]，有9-4=5；

下边[8，1，6]，有6-1=5；

左边[4，3，8]，有8-3=5；

右边[2，7，6]，有7-2=5。

显然这个特点与河图一样，反映出洛书与河图有着一定的内在联系。

②通过中数5的纵向、横向或对角线上的三个数，数5与其他两数之差的绝对值相等。

纵向│5-9│=│5-1│或9-5=5-1；

横向│5-3│=│5-7│或5-3=7-5；

右对角线│5-2│=│5-8│或5-2=8-5；

左对角线│5-4│=│5-6│或5-4=6-5。

综合以上分析，我们可以清楚地发现，其数理关系中对称性是河图、洛书图的基本特点，河图洛书还包含着基本的“和或差”的算术逻辑关系，尽管两者有所差别，但是它们表示的数理关系却有很多相似和共同之处。

世界万事万物都有其内在的规律和尚不知晓的奥秘，河图洛书的神秘传说，其实还蕴含着很多数理关系，这些关系也是现代数学的一些萌芽。如洛书实际上就是下面一个九宫格表（如图2），其每一行、每一列及两条对角线上的数字之和都相等（等于15）。这也就是现代所说的幻方。

幻方（Magic Square）是一种将1到n的若干个自然数数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的方法。

一般地，n阶幻方是指用前n2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和均相等，这个和称为幻和。

如上面的洛书，就可以看作是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字排成，幻和为15，中心数为5。

3.三阶幻方的构造

三阶幻方，又叫九宫格，这是幻方中最简单的一个幻方，因为2阶幻方是不存在的。

三阶幻方的构造方式有很多种，下面介绍几种供参考。

方法一：由于三阶幻方的幻和是15，而每行又有三个数，故中心数必须是5，含5的行、列、两对角线只能从下列四个算式中选取：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上中心格的5都等于15，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。

方法二：古代南宋数学家杨辉概括的构造方法为：

九子斜排（把1，2，3；4，5，6；7，8，9斜排成三行，如图3），

上下对易（交换1和9的位置，如图4），

左右相更（交换7和3的位置，如图4），

四维挺进（把3，1，7，9插入所在行列中，完成幻方，如图5）。

其具体方法如图所示：

方法三：中国古代九宫格的填法口诀是：

九宫之义，法以灵龟，

二四为肩，六八为足，

左七右三，戴九履一，

五居中央（如图6）。

朱熹在《易图》中也说“洛书盖取龟象，故其数戴九履一，左七右三，二四为肩，六八为足。”

方法四：有诗为证（如图7）：

四海三山八仙洞（4，3，8），

九龙王子一枝莲（9，5，1），

二七六郎赏月半（2，7，6），

周围十五月团圆（幻和15）。

三阶幻方虽然构造方法很多，但本质上是一种。不同的排法实际上是通过旋转、对称变换得到的。

三阶幻方也可以做一些推广。如对任意9个数组成的等差数列，都可以由1~9的每个数乘以X，再加Y，得到。

继续按照原先的从小到大的顺序排列，幻方仍然成立。

例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30构造三阶幻方：

把1～9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3就可得到要求的幻方。

如图8，其中，幻和=54。

幻方也是一种中国传统游戏。

幻方的种类很多，但构造起来还是比较困难的。下面我们分别介绍几种常见的、特殊的幻方构造方法。

4.四阶幻方的构造

方法一：对角线倒排法。如图9，先把数字1～16按顺序填入四方格内，只需把两对角线的数字排列顺序颠倒一下即可，如主对角线上的1，6，11，16，换成16，11，6，1，副对角线也如法操作即可。

如图10即为一个四阶幻方，幻和是34。

方法二：中心对称交换法。如图11，先把1～16个数字按顺序填入四方格内，（2，15）、（3，14）、（5，12）、（9，8）关于中心对称，相互交换位置即得一个四阶幻方，如图12。

方法三：平行对称法。如图13，先把数字1～16按如下顺序填入四方格内，则2，3与14，15关于横向轴对称；6，7与10，11也横向对称，类似的还有纵向对称。平行交换其位置即可得一个四阶幻方，如图14。

5.五阶幻方的构造

方法一：杨辉构造法。杨辉是我国古代著名的数学家和数学教育家，南宋钱塘人。杨辉对“九宫图”也就是三阶幻方进行了深入的研究，并把它命名为《纵横图》，并从三阶推广到高阶，取得了一系列重要的成果。

杨辉的方法是：二十五子斜排（如图15），上下对易（1与25，6与24，2与20交换），左右相更（同上，如图16），四维挺进（24、20挺进，25插入12与8中间，其余三维同法操作），即得到一个五阶幻方（如图17）。

同样，用杨辉构造法，也可以类似地排出四阶幻方，方法如下（如图18）：

注意：中间虚线正方形内的数字也要进行上下对易、左右相更的变换。

方法二：劳伯尔构造法。

首先，把1放入第一行正中央的方格内，依次向右上方格內填入2，3，4，…，25。如果要填的数字的方格上出框，则往最下填（如2），右出框则往最左边放（如4），如果右上方已有数字，则在原方格向下移一格继续填（如6），依次填满25格。即可得到一个五阶幻方（如图19）。

此两种构造方法对奇数阶幻方均可适用。

6.六阶幻方的构造

方法一：我们可以把六阶大方阵分解为4个三阶子方阵，如图20。

按上述奇数阶幻方给出的劳伯尔构造法，分别给4个子方阵对应赋值。

子方阵由小到大依次为上左子阵①，下右子阵②，上右子阵③，下左子阵④。

4个子方阵对应的元素相差9，如上左子阵①第一行中间的数是1，下右子阵②第一行中间的数就是10，上右子阵③第一行中间的数是19，下左子阵④第一行中间的数是28，此时每一列的和均为幻和111（如图20），然后只需在同一列作对应元素的适当交换，交换原则使行列及对角线上元素之和均为111，由此得到六阶幻方（如图21）。

方法二：仿照四阶幻方的对角线倒排法。如图22，先把1～36个数字按顺序填入六六方格内，然后把两对角线的数字排列顺序颠倒一下，再根据幻和是111，分别对行、列进行一个微调即可完成六阶幻方（如图23）。

更高阶的幻方，均可以仿照类似的方法来构造。

通过对幻方的研究，可以证明，二阶幻方是不存在的。三阶幻方本质上也只有一种。但四阶幻方就有880种，五阶幻方有2亿多种，而八阶幻方已超过10亿种。可见幻方的魅力还是很大的。

据记载，目前已经排出了125阶幻方。

（1）反幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。

反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。如图24就是一个三阶反幻方。

（2）清末民初数学家寿孝天构造的“六六幻方”：

①每行、每列及两条对角线上的六个数之和都是111。

②“二次幻方”。第一行和第六行六个数字的平方和是相等的，都是3095。第一列和第六列也是如此，平方和等于2947。这是这块“六六幻方”非常独特的地方。

③“回整幻方”。去掉“六六幻方”最外一层数字，剩下部分是一个四阶幻方（如图25阴影部分），其每行、每列及两条对角线上的4个数之和都是74。

④“完美幻方”。上述四阶幻方各条“泛对角线”上的4个数之和也都是74。例如，23+26+14+11，15+19+22+18，23+21+14+16等。

（3）美国科学家富兰克林的8阶幻方（如图26）：

这个八阶幻方，它也有一些独特的性质：

①幻方中的64个数字是从1至64，幻和是260。

②每半行、半列上各数和分别相等，均为半幻和130。

③幻方四个角上的四个数与最中心的四个数的和也等于幻和值260，即：52+45+16+17+54+43+10+23=260。

④从16到10，再从23到17所成折线“∧”上八个数字之和也为260；且平行这种折线的诸折线“∧”上的八个数字和也为260。

如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n×n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。如图27的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在相邻两行两列上的数字，他们的和都是34。如第一行、第二行、第二列、第三列上的四个数字是10，3，5，16，则10+3+5+16=34。

（5）十二阶完美幻方：幻和是858，而且每个2*2的子矩阵其和均为286。

（6）杨辉聚九图

说明：图29中的数字由1，2，3，4，…，33组成，其构成性质有：

①四个同心圆上的八个数字之和均相等；

②四条直径上的数字之和也相等；

③八条半径上的数字之和也相等；

④四条直径若去掉中心数（如9），其和与同心圆周上的数字之和也相等。

1910年，美国有一位名叫阿当斯的铁路公司阅览室青年职员，对六角幻方很感兴趣，他排出了一个由1～19个数组成的3阶六角幻方（如图30）。

他一有空闲时间，便在纸上或地上画六角图，再把19块上面写有1到19这19个数的硬纸板在图上摆来摆去。就这样，一天又一天，一年又一年，漫漫的47个春秋过去了，这时的阿当斯已成了两鬓斑白的老人。面对无数次的失败与挫折，阿当斯的兴趣依然不减。1957年的一天，患病在床的阿当斯终于排列成功了。他连忙找纸把它记录下来，不幸的是，当他病愈出院回到家中时，却发现那张记录六角幻方的纸竟不见了。阿当斯并不因此灰心丧气，又奋斗了5年后，在1962年12月的一天，重新找到了那个丢失的图形。这个图形有个奇特的性质，就是横的五行及斜的十行上各自数字的和都是38。阿当斯对于耗费自己毕生心血而得来的六角幻方视如珍宝，并把它拿给幻方专家马丁·加德纳鉴赏。面对这巧夺天工的珍宝，马丁·加德纳博士顿感眼界大开，并为此写信给智慧超群的数学游戏专家特里格。特里格惊奇万分并深受鼓舞，决心在阿当斯六角幻方的基础上，对层数作出突破。他经过反复研究，终于惊奇地发现：三阶以上的六角幻方根本不存在。这就是说，普通的幻方可能有千千万万种排法，但六角幻方却只能有阿当斯这一个。

有关幻方的研究，不只是数学家、数学爱好者的一种智力游戏，其中也包含了一定的数学知识和对数学思维的训练，也是对人们智力的一种挑战。因此，人们研究幻方的热情总是不减。