没有规矩不成方圆

俗话说，没有规矩不成方圆。也就是说，作圆必须用圆规，如果没有圆规或没有画圆的工具就不能作圆。同样，作方也就是作矩形或正方形等必须用直尺和圆规，没有直尺同样做不出矩形和正方形。此话后来的意思已经映射到做人做事，意为一个人如果没有规矩（不遵守规则），就不能成为一个有用的人，它告诉我们一个重要的道理——做任何事都要有规矩，懂规矩，守规矩。

“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子》的《离娄章句上》，孟子要求当政者要实施仁政。具体落实到两个方面，一是“法先王”，二是“选贤才”。所以“不以规矩，不能成方圆”的说法成为了人们在生活中常用的格言警句。

而数学中用直尺和圆规作图是几何学的重要内容之一。数学中的很多图形都可以用直尺和圆规作出，如三角形、四边形、多边形、圆以及部分正多边形等。

凡是能用直尺（这里指无刻度的直尺）和圆规作出的图形，都称为尺规图形，其作图过程就叫做尺规作图。

尺规作图是起源于古希腊的重要数学课题。古希腊时的数学比较发达，古希腊人比较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而不太重视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题。所谓尺规作图，就是指有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。

古希腊的哲学家安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺规限制。他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑。在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的监狱生活。他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度。另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规来解决问题。后来以理论的形式具体明确这个规定的是欧几里得的《几何原本》。

尺规作图的两点基本要求：

（1）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，并且只准许使用有限次；

（2）圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。

当然，尺规作图也有严格的定义和要求。

基于“作图公法”的定义如下：

承认以下五项前提，有限次运用以下五项公法而完成的作图方法，就是合法的尺规作图：

五项前提是：

（1）允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点（所谓“确定范围”，依下面的四条规则）；

（2）可以判断同一直线上不同点的位置次序；

（3）可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序；

（4）可以判断平面上一点在直线的哪一侧；

（5）可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。

尺规作图的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

（1）通过两个已知点可作一条直线；

（2）已知圆心和半径可作一个圆；

（3）若两已知直线相交，可求其交点；

（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点；

（5）若已知两圆相交，可求其交点。

八种基本作图：

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作已知线段的垂直平分线；

（4）作已知角的角平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线；

（6）已知一角、一边作等腰三角形；

（7）已知两角、一边作三角形；

（8）已知一角、两边作三角形。

下面来看尺规作图中的两个最著名的问题：

1.尺规作正多边形

在各种图形中，正多边形是大家比较感兴趣的一类。由于圆规可以画圆，而所有正多边形都可以内接于圆，因此它的所有顶点都在圆周上。这样看来，正多边形应该很有希望用尺规作图。而且，前几个正多边形的作图方法很快就构造出来了，步骤也不算复杂，如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形等。然而还是有很多正多边形没有找到尺规作图的方法，如正七边形、正九边形等。人们自然要问，是否存在不可能尺规作图的正多边形？

相对于同时期的其他文明，古希腊数学更富思辨精神。尽管当时的数学问题都是源于生活，但古希腊人并不立足于解决生活问题，而是考虑一般的理想情形。边数较多的多边形在实际问题中几乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣，并且还执着地规定直尺不能带刻度。

那么，只使用直尺和圆规，可以做哪些正多边形呢？又不能做哪些正多边形呢？

如我们已经作过的正四边形、正五边形、正六边形等。

只使用直尺和圆规，能否作出正七边形？这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，最终证明，正七边形是不能由尺规作出的。

同样，只使用直尺和圆规，作正九边形也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。

那么，只使用直尺和圆规，到底可以作出哪些正多边形呢？

用尺规作正偶边形如4，6，8，10，12等正多边形并非难事，但做正14边形、18边形就比较困难。对于正奇边形如7，9，11，13，15等的作图，在当时也是件困难的事，而且并非全都可以用尺规作图。

这个问题在经过漫长的两千多年后，才最终被天才的数学家高斯在24岁时完全解决。1798年，德国数学家高斯只有19岁，在读大学二年级时就给出了正十七边形的尺规作图法的依据，并且在24岁时还给出了可用尺规作图的正多边形的条件：“能用尺规作出的正多边形，其边数目必须是2的非负整数次幂和不同的费马素数的积”（费马素数是指形如F（n）=+1的质数，其中n是非负整数），这才解决了两千年来悬而未决的难题。

高斯虽然给出了判断方法，但高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出。当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的纪念碑上刻了一个正17边形（一说是刻了一个正十七角形）。

对于费马素数F（n）=+1，只有当n=0，1，2，3，4时，

F=3，5，17，257，65537。

它们都是质数，但一般猜测n>4时，费马数都不是质数（现在也只是猜想）。如n=5时，F5=+1=232+1=4294967297=641×6700417就不是质数。

根据高斯的结论，一个正多边形可以尺规作图，当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍（即2倍，4倍，8倍，16倍，等）。高斯的结论给出的是一个充分必要条件，换句话说，费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。由于我们现在所知道的只有五个费马质数存在，所以用圆规可以作出的正奇边形是3，5，17，257，65537，以及这五个数的两两相乘的积。如3×5，3×17，5×17×257等共31个，而最大的正奇边形的边数是3×5×17×257×65537。

根据高斯的结论，边数小于100，可以用尺规作图的正多边形边数如下：

3，4，5，6，8，10，12，15，16，17，20，24，30，32，34，40，48，51，60，64，68，80，85，96（24个）。

不过，高斯的证明只是针对存在性，而没有给出具体的作图方法，包括著名的正十七边形的作法，也不是他亲自作出来的。

下面我们以正五边形为例，如图1，看看如何用尺规作出正五边形。

（1）在平面内作一圆，圆心为O；

（2）在圆O上取一点A，连接AO并延长交圆O于另一点B（假设令AB=4）；

图1

（3）过点O作CD⊥AB，交圆O于C、D两点（此时CD=4）；

（4）作OB的垂直平分线MN，交OB于E点，交圆O于M，N（此时OE=BE=1）；

（5）以点E为圆心，EC长为半径作弧，交BO延长线于点F；（此时EC=EF=）

（6）以点B为圆心，BF长为半径作弧，交圆O分别于G、H两点

（此时BF=EF+BE=1+，由此可知

cos∠ABG=（EF+BE）/AB=（1+）/4=cos 36°，

而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5（边所对的圆心角），

此时便得到了圆周上的五等份点的其中三个A、G、H。

（7）以点G为圆心，GA长为半径作弧，交圆O于P点；

（8）以点H为圆心，HA长为半径作弧，交圆O于Q点；

（9）连接AG、GP、PQ、QH、HA，则五边形AGPQH即为正五边形。

下面我们分别来看一下其他正多边形的作图过程。

图2

由于，

它是有理数的加、减、乘、除、平方根的组合，是无理数，但不是超越数，故正17边形可用尺规作出（高斯结论）。

作法：

（1）给一圆O，作两垂直的直径AB、CD；

（2）在OA上作E点，使OE=（1/4）AO，连结CE；

（3）作∠CEB的平分线EF交圆于F；

（4）作∠FEB的平分线EG，交CO于P；

（5）作∠GEH=45°，交CD于Q；

（6）以CQ为直径作圆，交OB于K；

（7）以P为圆心，PK为半径作圆，交CD于L、M；

（8）分别过M、L作CD的垂线，交圆O于N、R；

（9）作弧NR的中点S，以SN为半径就可将圆O分成17等份。

2.四等分圆周

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周四等分。这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，曾向全法国的数学家挑战。

又说，此题目原是由意大利数学家罗兰索·马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）向拿破仑·波拿巴提出的，但不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化，变成只给定一圆，不知道圆心，只用圆规将此圆四等分，在这种情况下，必须先用圆规作图找到圆心。

以上两种问题都被称为拿破仑问题。

第一个问题：已知一个圆，只用圆规找出其圆心。

作法（如图3）：

（1）在已知圆上任取一点A，以A为圆心，适当长为半径作圆A，分别交已知圆于B，C两点；

（2）在圆A上，以AB的长为半径，从点B开始，逆时针依次画弧，截取弧BD，弧DE，弧EF；

（3）分别以F，A为圆心，以FC的长为半径画弧交于点G；

（4）再以G为圆心，以FC的长为半径画弧，交圆A于点H；

（5）分别以B，A为圆心，以BH的长为半径作弧，两弧交于点O，则点O就是要求作的已知圆的圆心。

若想证明点O就是圆心，只要证出点O到A，C，B三点的距离相等即可。

证明：由作法可知，△BAD，△AED，△EAF均为等边三角形，

则∠BAD+∠DAE+∠EAF=180°，

即点B，A，F三点共线。

又AG=FG=GH=FC，AF=AH，

则：△HAG≌△FAG（SSS），

所以，∠HAG=∠FAG；

又AB=AH，则∠ABH=∠AHB；

即∠FAH=2∠ABH，

由此可知∠FAG=ABH=∠AHB=∠HAG；

∴△FAG∽△BHA，AF/BH=AG/AB=FG/AH

又BO=AO=BH，FC=FG，

则：AF/BO=AC/AO=FC/AB，

得△AFC∽△OBA，∠FAC=∠BOA；

∴∠OAC=180°-∠FAC-∠BAO=180°-∠BOA-∠ABO=∠BAO；

又AB=AC，AO=AO，则△OAC≌△OAB（SAS）；

得OC=OB=OA；

故点O为已知圆的圆心。

第二个问题：四等分圆周长。

这个问题也可以变形为：只用圆规，不许用直尺，在平面圆上构造四个点，使之成为某个正方形的顶点。当然这个问题后来被证明是有解的。

图3

思路：设半径为1。可算出其内接正方形边长为，也就是说用这个长度去等分圆周即可，我们的任务就是作出这个长度。先作出六等份圆周，这时会出现一个的长度。设法构造斜边为，一直角边为1的直角三角形，的长度自然就出来了。

（1）如图4，取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F；

（2）分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G（若设圆的半径为1，此时AC=，OG=）；

（3）以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则点A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。

图4

图5

第三个问题：四等分圆的面积。

（1）如图5，以A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于两点，取⊙O上在点A顺时针方向的点为点E；

（2）以E为圆心，OA长为半径画弧，把点O与点A用圆弧相连；

（3）以同样的方法作出弧OM、OD、ON，则这四条弧把⊙O的面积四等分。

在中国古代，对尺规作图也有一定的研究，并取得了突出的成绩。

“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股。

矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形。矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规。甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水（公元前2000年）前。

《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”。赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也。”意即大禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理。这也说明矩起源于很远的中国古代。

春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠（制造车子的工匠）执其规矩，以度天下之方圆。”《孟子》卷四中说“离娄（传说中目力非常强的人）之明，公输子（即鲁班，传说木匠的祖师）之巧，不以规矩，不能成方圆。”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了。由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性。

当然，也有很多几何作图问题是无法用尺规来完成的，称为“尺规作图不能问题”。

由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图规则也一直被遵守并流传下来。由于对尺规作图的严格限制，使得一些貌似简单的几何作图问题却无法解决。

最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：

这三大问题的具体内容为：

（1）立方倍积问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的两倍；

（2）化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积；

（3）三等分任意角问题：作一个角，将其分为三个相等的部分。

以上三个问题在2400年前的古希腊就已被提出，当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿。以后两千多年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终。直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则。直至1837年法国数学家万芝尔才首先证明“立方倍积”问题和“三等分任意角”问题都属于尺规作图不可能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明了π是超越数后，“化圆为方”问题也被证明为尺规作图不能问题，这才结束了历时两千年的数学难题公案。

几何三大作图难题虽然已经有了结论，但结论“不可能”，其前提是尺规作图。

如果不限于尺规，借助于其他工具或曲线，这三大难题就完全会成为可能。

比如引进抛物线，就可以作出“倍立方问题”。

图6

设已知立方体的棱长为a，体积为a3，则倍立方的体积为2a3，棱长为a。

给出两条抛物线x2=ay和y2=2ax，如图6，设它们的交点为A，则A点的横坐标为a，即OB=a，即为所求的倍立方的棱长。

对于三等分角问题，指的是不能三等分“任意角”，对于某些特殊的角如90°，它就是可以三等分的。如果跳出尺规作图法则的限制，比如引入双曲线，则“三等分角”就是可能的。

再比如引入圆积线，也可以解决“化圆为方问题”。

总之，几何作图三大问题经历了两千余年，凝聚了无数数学家的心血，最终在解析几何工具下得到解决。

几何三大问题也促进了对圆锥曲线的研究，发现了一些有价值的特殊曲线，提出了尺规作图的判别准则，这些都比几何三大问题本身的意义深远得多。