无字的证明

数学的美妙是不言而喻的。在数学的很多场景下，有时一幅图形胜过千言万语，也就是一幅图可以展示深奥的数学关系，也可以简化证明，甚至不用文字证明，结论通过看图就能自然明白，这就是数学中的无字证明。所谓无字的证明，就是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的一些数学命题，虽然不能算作是正式的证明，但这些图形能够传递和表达那种强烈的数学张力，使读者领略到通过理解、思考，马上就被震撼、被吸引，也被美妙的图形结构所折服的感觉。这种感觉是任何语言也无法表达的一种神奇体验。正是由于图形表达的不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理，它可以帮助我们感悟形与数的神奇结合，同时领悟数学命题的正确性，并且指明严格的数学证明可以从何处下手并进行下去。

下面看一些具体的例子。

1.自然数之和

1+2+3+4+5+…+n=？

（1）图形构造一：

（2）图形构造二：

2.奇数之和

1+3+5+7+9+…+（2n-1）=？

从1至2n-1之间的所有奇数之和为n的平方的无字证明，如下面的图所示。第一个正方形由一个方块组成，即1为首个平方数。之后增加3个白色方块以组成第二个正方形，总共有4个方块，即4为第二个平方数。之后再增加5个黑色方块组成下一个平方数9，并以此类推。

（1）

即：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2

（2）

（3）

3.自然数回文式的和

1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=?

1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2

4.奇数回文式的和

1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1=?

1+3+1=12+22

1+3+5+3+1=22+32

1+3+5+7+5+3+1=32+42

……

1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1=n2+（n+1）2

5.自然数的平方和

12+22+32+…+n2=？

3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）（1+2+3+…+n）

所以，12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）

6.自然数的立方和

13+23+33+…+n3=？

13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=n（2n+1）2

7.二分之一的无穷数列和

《庄子·天下篇》中有一段话，说的是“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”意为拿一个长度为一尺的东西，今天取走一半，明天在剩余的一半中再取走一半，以后每天都在剩下的长度中取一半出来，这样永远都不会取完。

如果把取走的每一部分再合并起来，就可以用以下的和式来表示：

此式子也可用下面的图形予以解释：

8.勾股定理的证明

勾股定理的证明可以说是数形结合的典范，前面我们已经做了专门研究，现再举几例说明图形的魅力。

（1）通过两种不同的方法计算大的正方形的面积可以得到。

2ab+a2+b2=4×ab+c2

化简得：a2+b2=c2

（2）用4个全等的直角三角形拼成正方形如图：

（a+b）2=4×ab+c2

整理得：c2=a2+b2

（3）赵爽的勾股圆方图

c2=4×ab+（b-a）2

整理得：c2=a2+b2

（4）美国总统加菲尔德图

整理得：c2=a2+b2

9.完全平方和公式

a2+b2+2ab=（a+b）2

10.完全平方差公式

a2+b2-2ab=（a-b）2

11.均值不等式

（1）四矩形拼正方形

（a+b）2≥4ab⇒a+b≥（a＞0，b＞0）

（2）利用勾股定理

a+b≥（a≥b＞0）

（3）赵爽弦图

即a2+b2≥2ab

（4）利用射影定理

12.任意五角星的顶角和是180°

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°

13.余弦定理

（1）根据相交弦定理

（2a cosθ-b）b=（a-c）（a+c）

c2=a2+b2-2ab cosθ

（2）利用两点间距离的坐标公式

│BC│2=（b-c cosθ）2+（c sinθ-0）2

a2=b2+c2-2bc cosθ

总之，像上面用图形来巧妙反映数量关系的例子还有很多，这只是其中比较典型的一部分。从上面的例子我们也可以看出，构造满足相关数量关系的图形是关键的关键，其中就包含了数学的智慧、创造的思维、巧妙的构思，当然也是一种数学美的享受。