银行利率与自然常数e

居民在银行存款是最常见、最普遍的理财方式之一。银行存款的方式有多种形式，利率也各不相同，如活期存款、整存整取、零存整取等，当然也还有专门的理财产品。熟悉银行的存款方式，会进行银行利息的计算，对于居民合理选择存款来增加收益非常重要，这是生活中最典型的数学应用之一。

存入银行的钱叫做本金，取款时银行多支付的钱叫做利息，利息与本钱的比值叫做利率。

利率通常用百分比表示，按年计算则称为年利率，按月计算则称为月利率。

其计算公式是：。

乘100%是为了将数字切换成百分率，与乘1的意思相同，计算中可不加，只需记住即可。关于时间，大多数银行是按每月30天、每年360天来计算的。

如果用i表示利率、用l表示利息额、用p表示本金，t表示存入时间，则利率可用公式表示为。

若t表示月数，则公式计算的结果是月利率，若t表示年数，则计算结果是年利率。

如存入本金1000元，三年后得本息和是1127元，则可知当年的三年定期利率是：

一般来说，利率根据计量的期限标准不同，表示方法有：年利率、月利率、日利率等。

根据国家的经济发展水平，利率也会进行适时的调整。

我们来看日常存款利息的计算方法。

1.存款本利计算方法

（1）整存整取

整存整取是指开户时约定存期，一次性存入，届时一次性支取本息的一种个人存款方式。50元起存，外汇起存金额为等值于人民币100元的外汇。计息按存入时的约定利率计算，利随本清。

人民币存期（定期）分为三个月、六个月、一年、两年、三年、五年六个档次。外币存期分为一个月、三个月、六个月、一年、两年五个档次。

整存整取存款本息可以在到期日自动转存，也可根据客户意愿到期办理约定转存。

整存整取利息计算公式为：

利息=本金×利率×实际月数/12。

假如存入一万元人民币，某一个时期的利率是：

三个月是2.85%，半年是3.05%，一年是3.25%，二年是4.4%，三年是5.0%，五年是5.5%；其利息的计算结果是：

三个月的利息计算公式=10000×2.85%×3÷12=71.25元；

半年的利息计算公式=10000×3.05%×6÷12=152.50元；

一年的利息计算公式=10000×3.25%×1=325元；

二年的利息计算公式=10000×4.4%×2=880元；

三年的利息计算公式=10000×5.0%×3=1500元；

五年的利息计算公式=10000×5.5%×5=2750元。

在此需要说明的是，上述公式中所说的“利率”一般可分为年利率、月利率和日利率。年利率用百分之几表示，月利率用千分之几表示，日利率用万分之几表示。其中：

日利率（‰0）=年利率（%）÷360

月利率（‰）=年利率（%）÷12

另外，在日常生活中，利率也经常用分、厘、毫表示，那么我们该如何理解呢？

如：“年息9厘”其实就是说“年利率9%”，即每百元存款1年利息9元；“月息1分”其实就是说“月利率10‰”，即每千元存款1月利息10元；“日息1厘5毫”其实就是说“日息1.5‰0”，即每万元存款每日利息1元5角。

（2）零存整取利息的计算

零存整取是居民普遍采用的存款方法之一。零存整取的余额是逐月递增的，因而我们不能简单地采用整存整取的计算利息的方式，只能用单利年金方式计算，公式如下：

Sn=A（1+R）+A（1+2R）+…+A（1+nR）=nA+n（n+1）AR

其中，A表示每期存入的本金，R是利率，Sn是n期后的本利和，Sn又可称为单利年金终值。上式中，nA是所储蓄的本金的总额，n（n+1）AR是所获得的利息的总数额。

通常，零存整取是每月存入一次，且存入金额每次都相同，因此，为了方便起见，我们将存期可化为常数如下：

如果存期是1年，那么令D=n（n+1）=×12×（12+1）=78，同样，如果存期为2年，则常数由上式可算出D=300，如果存期为3年，则常数为D=666。

这样算来，就有n（n+1）AR=DAR，即零存整取利息。

例如：你每月存入1000元。存期为1年，存入月利率若为1.425‰（根据银行当年的利息标准为依据，不同时期标准会有变化），则期满年利息为：1000×78×1.425‰=111.15（元）。

零存整取还有另外一种计算利息的方法，这就是定额计息法。

所谓定额计息法，就是用积数法计算出每元的利息化为定额息，再以每元的定额息乘以到期结存余额，就得到利息额。

每元定额息=n（n+1）AR÷nA=（n+1）R

如果，银行一年期的零存整取的月息为1.425‰。那么，我们可以计算出每元的定额息为：1/2×（12+1）×1.425‰=0.0092625。

假如你每月存入1000元，此到期余额为：1000×12=12000（元）

则利息为：12000×0.0092625=111.15（元）。

同样，人们在发展生产、改善生活中也离不开贷款，如贷款建厂、贷款建房、贷款买车、贷款买房等。那么贷款利息又是如何计算的呢？

2.贷款利息计算方法

以涉及千家万户的房贷为例，看看个人住房按揭贷款是如何计算的。个人住房按揭贷款，其还本付息方法通常有两种。

（1）等额本息还款计算方法

等额本息贷款的还款方法，即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。其计算公式为：

每月还款金额（简称每月本息）=

还款月数=贷款年限×12

月利率=年利率/12。

下面给出两种简单的推导方法。

方法一：设贷款本金为A，月利率为r，还款月数为n，每月还款金额为x，那么，每月所还款的本利和累计为在约定期内贷款的本利和，即

x+x（1+r）+x（1+r）2+…+x（1+r）n-1=A（1+r）n

∴=A（1+r）n

所以，x=

方法二：设Bk为第k个月末还款后尚欠银行的本利和，则

B1=A（1+r）-x

B2=B1（1+r）-x=A（1+r）2-x（1+r）-x

B3=B2（1+r）-x=A（1+r）3-x（1+r）2-x（1+r）-x

……

Bn=Bn-1（1+r）-x=A（1+r）n-x（1+r）n-1-…-x（1+r）-x

　=A（1+r）n-

因Bn=0，得

本息还款法的计算原则：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金。利息在月供款中的比例中随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变。

特点：本金逐渐增加。

所谓等额本息还款，就是指贷款期限内每月以相等的金额偿还贷款本息，直至结清贷款。即借款人归还的利息和本金之和每月都相等，利息和本金占计划月还款额的比例每次都发生变化，开始时由于本金较多，因而利息占的比重较大，当期应还本金=计划月还款额-当期应还利息，随着还款次数的增多，本金所占比重逐渐增加。

以贷款20万元20年还清为例，按年利率7.47%计算，月均还款为

支付总利息达185942.8元，还款总额共计385942.8元。

（2）等额本金还款计算方法

即借款人每月按相等的本金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额。其计算公式为：

每月还款金额=+（本金-累计已还本金额）×月利率

累计已还本金=已经归还贷款的月数×贷款本金/还款月数

等额本金利息计算原则：每月归还的本金额始终不变，利息会随剩余本金的减少而减少。

特点：利息由多渐少。

等额本金还款方式则指每月等额偿还本金，贷款利息随本金减少逐月递减直至结清贷款。即每月归还本金的数额相等，利息=当期剩余本金×月利率，每月的还款额并不固定，而是随着每月本金的减少而递减，随着还款次数的增多，利息由多逐渐减少。

同样以贷款20万元20年还清为例，按年利率7.47%算，第一个月还款本金为833.33，利息为1245，共计还款2078.33元。第二个月还款为2073.14元，以后每月递减，最后一个月还清时还款838.52元。支付总利息为150022.5元，还贷总额为350022.5元（显然要比等额本息还款少3万5千余元）。

这两种计算方法不尽相同，也就是说，等额本息还款法实际上是等比数列，等额本金还款法是等差数列。等额本息还款采用的是复合利率计算，在每期还款的结算时刻，剩余本金所产生的利息要和剩余的本金（贷款余额）一起被计息，也就是说未付的利息也要计息。

然而，等额本金贷款采用的是简单利率方式计算利息。在每期还款的结算时刻，它只对剩余的本金（贷款余额）计息，且未支付的贷款利息不与未支付的贷款余额一起作利息计算，而只有本金才作利息计算。

贷款周期越长，等额本息贷款就要比等额本金贷款产生越多的利息。所以，贷款周期越长的借款人，应该优先选择等额本金贷款。

两种方式，各有优势。

同样20万元还20年，等额本息还款利息比等额本金还款多35782.2元。如果贷款100万，那就会多出178911元。显然，“本金”的利息明显低于“本息”，可是，是否“本金”还款是最佳选择呢？

银行分析人士说，“本息”还款优点是每月偿还金额相等，还款压力均衡，便于借款人合理安排家庭收支计划，对于精通投资、善于理财的家庭，无疑是最好的选择。只要投资回报率高于贷款利率，则占用资金的时间越长越好，这种还款法还适合未来收入比较稳定或略有增加的借款人，如部分年轻人、资金较为紧缺，但未来有能力提前还贷，这样利息也会相对减少。

“本金”还款法在贷款初期月还款额大，还贷压力较重，尤其是在贷款总额比较大的情况下，相差上千元。但是，随着时间推移，还款负担逐渐减轻。适合收入较高，有一定的经济基础，但是预计将来负担会加重的人群。

等额本息还款法，之所以利息比较高，实际上是一种“复利”计算方法。

3.复利

所谓的复利是指在每经过一个计息期后，都要将所生利息加入本金，以计算下期的利息。这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。

复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。复利的计算公式是：

S=p（1+i）n

其中，S表示复利终值（本利和），p表示本金，n表示计息期数，i表示利率。

假设本金1000元，在年利率为5%的情况下每半年计息一次，问在复利计息的情况下，二年后本利和是多少？

其计算方法是1103.81元。这就是过去所谓的利滚利。

很多投资项目，多以复利进行计算。一方面是复利的高回报率，另一方面投资也有风险，需谨慎行事。

例如：一个投资者第一年将积蓄的50000元进行投资，每年都能获得的利率或者投资回报率为3%，他将这些本利之和连同年金（5万）再投入新一轮的投资，投资年限为30年（相当于零存整取，但是复利计算利息），那么，30年后所获得的本利收入，也就是按复利计算公式来计算本利和（终值），他的资产总值将变为：

复利的计算与一个重要的常数e有着密切的关系。

我们来举一个复利变化的例子，即如何得到复利的最大化。

假设我们考虑一年的定期存款，初始存款为1万元，假如年利率为100%，当然利率不可能是100%，我们只是为了计算方便，你也可以设置其他的利率，或者真实的利率均可，这不影响我们的计算方法。

第一年结束后，按照所给的利率，本金是1万，利息是1万，总收益是2万；假如半年单独结算一次，利率降低到50%，那么半年后的利息是0.5万元，本利和是1.5万，以此为本金，下半年结束后，所得利息是0.75万元，也就是一年后由最初的1万元增加到了2.25万元。通过半年计算一次利息，比一年结一次利息多出了0.25万元。如果初始存款100万，我们便多出25万的收益。

由此可以看出，在一年的时间里，如果结息的周期缩短，我们将获得更多的收益。不妨将一年划分成四个季度，每个季度结一次息，利率将变成25%，通过复利计算，一年后我们将得到的本利和是（1+25%）4=2.44141万元。我们的收益在增加，再一次说明结息周期越短，我们获得的收益也越大。设想，我们可以将结息周期划分成月，划分成星期，划分成天，划分成小时、分、秒等，是否我们的钱也会无限增长吗？我们会变成百万富翁吗？我们来看下表：

这虽是一个无限递增的过程，但最终使本息和停留在某一个常数上。这个常数，也就是这个极限值被数学家称之为e。e的近似值为2.71828。

和π一样，e既是无理数，也是超越数，是一个非常重要的数学常数，也是数学三大常数之一（圆周率、黄金分割、自然常数），一般我们称其为自然常数。虽然自然常数e的知名度比圆周率π低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数e在日常生活中看似不太常用，但是经济增长规律、植物生长规律、动物种群变化等都与e有关，所以俗称“自然数”。e的重要作用还在于数学中的利率计算、对数计算、复数计算中，尤其是在高等数学中更是有着不可忽视的重要作用。

比如融合e、π、i、1、0的最完美的欧拉公式：

eπi+1=0

就是自然常数e的数学价值的最高体现。

那么，我们如何给自然常数e找一个精确的表达式呢？

受复利计算的启发，数学家们得到了一个精确的表达式是：

这是一个无限不循环小数，既是无理数，也是超越数。有时也称e为欧拉数（Euler number），是以瑞士大数学家欧拉命名的。

e的小数点后前100位是：

“e≈2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”

因为e=2.718281828…，极为接近循环小数2.71828（1828循环），那就把循环小数化为分数，所以可以用表示为e的最接近的有理数约率，精确度高达99.9999999%。如果限定分子分母都是两位数的话，e的最佳近似值是。有趣的是，如果将分母和分子限定到三位数，则最佳近似是。第二个分数恰好为第一个分数的一个回文展开数。

e作为重要的数学常数，也是其自然对数的底数。对数中最重要、最常用的两个对数就是自然对数和常用对数，它们的关系是：

即　lg x=lg e·ln x

数学家们还发现，自然常数e还有其他一些表示方法：

如：欧拉首先发现了e的连分数表示：

e还有一个著名的展开式（泰勒展开式）：

下面让我们简单回顾一下自然常数e的发现历程：

1618年，第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表。

1683年，第一次把e看为常数的是数学家族中的雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），他在研究复利问题时用到此常数。

1690年，第一次使用常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，当时是用b表示。

1727年，欧拉开始用字母e来表示这个常数。而e第一次在出版物中用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e最常用，终于成为标准。所以有时也称e为欧拉数。

1737年，欧拉证明了e是无理数。1748年，欧拉将e计算到了小数点后23位；大概在同一时期，欧拉还发现了著名的欧拉公式：eπi+1=0。

1873年，法国数学家埃尔米特证明了e是超越数，这是第一个获证的超越数。9年之后，德国数学家林德曼沿用埃尔米特的方法证明了π是超越数，这个问题更引人注目。

从遇到自然常数e到基本认识e，数学家们也是经过了两百多年的探索和研究。

π和e之间也有着某些特殊的关系，eπ和πe的值非常接近，而且容易证明：eπ＞πe，当然，只需用计算器计算一下便可知道，而它们的近似值也分别为：eπ≈23.14069，πe≈22.45916

这其中，数字eπ也是一个重要的常数，称为盖尔范德常数，并且已被证明了是超越数。但πe还没有人证明它是无理数。

e也可以用在函数当中，如很多增长或衰减过程都可以用指数函数来表示。比如说经济增长和人口增长，还有放射性衰变等。而用e做底数的指数函数就是一个重要函数，其重要方面，还在于它是唯一的函数与其导数相等的函数，即

指数函数是y=ex，其导数是y′=ex。

这个函数也被称为是最美的函数，它也是函数的一个中心角色。

而以自然常数为底的自然对数函数，在求导时，也非常简单，如：

对数函数是y=ln x，其导数是。

当然，数字e也出现在与增长无关的地方。有一个例子，说的是一群人去聚餐吃饭，吃完后在离开时随机拿起一顶帽子（假设每个人都有一顶不同的帽子），那么没有人拿到自己帽子的概率有多大？

可以证明这个概率是（大约37%），所以至少有一人拿到了自己的帽子的概率为（63%）。这也只是在概率的众多运用中的一个例子。还有在统计学中，正态分布的“钟形曲线”涉及e；在工程学中，悬索桥缆索的曲线基于e。这方面的内容可以说是无穷无尽。

由此可以看出，e的重要性是不言而喻的，e也是无可代替的，数学家对其的探究从来就没有停止过，因为它是数学中最自然的数字。